l2v8 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 13. December. 



Bestehen der Gleichung (7) folgen, dass die Gleichung (4) reductibel 

 sei.' Dann aber, dass auch (H') selber reductibel sei." 



11. 



Es sei k ein in den Coefficienten einer Differentialgleichung 



auftretender Parameter, mit welchem sich die ersteren stetig ändern. 

 Wir machen nunmehr die folgende Voraussetzung: 



(a) Es giebt ein Fundamentalsystem von Integralen 

 yi,y2, ■ ■ -Vm ^*^^ Differentialgleichung (i) von der Beschaffen- 

 heit, dass in dem ganzen Verlaufe der Variabein x die 

 Gleichungen 



(2) ^ = A,y, + A,yl+...^A^_,yT-'\ « = .,2,...,« 



wo ^o, A, , . . . A„,_, rationale Functionen von a;, erfüllt werden. 



Von den Differentialgleichungen dieser Art stellen wir zunächst 

 folgenden Satz auf 



I. Die Coefficienten der Substitutionen der zur Glei- 

 chung (i) gehörigen Gruppe sind unter der Voraussetzung (a) 

 von k unabhängig. 



In der That möge ein Umlauf der Variabein x , y^ in y^ über- 

 fiihren, alsdann ist 



(3) J/., = ^«»1^. +'='„2^2+ •••+a„™ym, = 1,2,...»« 



WO a„|, von x unabhängig. Da die Gleichungen (2) im ganzen Ver- 

 laufe der Variabein x bestehen, so folgt 



dy '" "' "• 



(4) -g^ = A2;, a„„ y,+A, :X,u,, y, + ... + A,„ _, 5, cc,, yi"" ~" , 



also unter Anwendung derselben Gleichung (2) 



^^^ U-''--dk+''-lk+--- + ''-~dk- 



Differentiiren wir aber Gleichung (3) nach k, so folgt 



Durch Vergleichung von (6) und (5) ergiebt sich demnach 



' Siehe Frobenius, Borchardt"s Journal Bd. j6 S. 26 

 " A. a. O. S. 261. 



