FrcHs: Zur Theorii' (1er linenren Difl'erentialgleiclmngpn. (Forts.) 1281 

 Nach einem Umlaufe U der Variabein x möge j/^ die durch die 

 Gleichung- (i) hezeichnete Substitution und demgemäss ^^ die durch 



OK 



Gleichung (5) bezeichnete Substitution erfahren. Demnach werden 

 Zähler und Nenner in den Werthen, welche die Gleichungen (6) für 

 A^, A^, . . . A„,_, ergeben, nach dem Umlaufe U mit demselben Factor 

 multiplicirt sein. Hieraus folgt, dass A^, A,, . . . j4,„_, durch die Um- 

 läufe der Variabein x um die singulären Punkte der Gleichung (i) 

 voriger Nummer nicht geändert werden. 



Bedeutet W einen Umlauf von x um ein Gebiet, in welchem kein 

 singulärer Punkt der Gleichung (i) voriger Nummer sich befindet, so 

 ist für jeden Punkt x dieses Gebietes nach dem Theoreme von Cauchy, 

 wenn wir 



(7) y^=f^{x,k), n=i,2,...m 



setzen , 



271-tJ Z — X 



das Integral erstreckt über die Begrenzung von W. Wir haben daher 



dk 27r/J dk 

 woraus hervorgellt, dass -rr- innerhalb \^ eindeutig, endlich mid stetig 



OK 



ist. El lenso ergiebt sich , dass -i^— in der Umgebung von a; ^ 00 die 



^ dk ö » 



gleiche Eigenschaft hat, wenn y^ daselbst eindeutig, endlich und stetig ist. 



Da hiernach ~^~ keine anderen Singularitäten besitzt als 



y,,, so ergiebt sich, dass A^, A, , . . . A,„_, eindeutige Functionen 

 von x sind. 



Differentiiren wir die Gleichung (i) voriger Nummer nach k, so 

 folgt: 



, , d"' fdy\ d"'-' fdy\ dy 3r, d'^'U/ 



dx- \dk) ^ ■ dx'"-' \dk) ^ ■ ■ • ^ '" 3/i; " dk dx"-' 



dr^ d"'~'y 3r„ 



dk dx"^-"" ■■■ dk^' 



Da die Integrale y der Gleichung (i) voriger Nummer keine Punkte 



der Unbestimmtheit besitzen, so folgt aus dieser Gleichung, dass auch 



dy 



^ keine Punkte der Unbestimmtheit hat. Daher haben auch die aus 



