Fuchs: Zur Theorif dci- üiicaien Difi'erentialgleiehungvn. (Forts.) 128Ji 



Ist nun beispielsweise / eine algebraische Function von k, so müsste 

 7, der Identität (i 7) zu Folge eine algebraische Function von / sein. 



Die Gleichung (21) ist aber nicht für jede Wahl von — . als alge- 



'/ 

 braische Function von / algebraisch integrirbar, daher ist unsere Vor- 

 aussetzung, dass gleichzeitig die Identitäten (12) und (17) bestehen, 

 unzulässig und wir erhalten den Satz 



IL Man kann das Fundamentalsystem ^„ so wählen, dass 

 eine Identität der Form (12) nicht für einen von x unab- 

 hängigen Werth von 7 erfüllt wird. 



Aus dem Satze I ergiebt sich nach Satz I , Nr. 5 : 



m. Sei 



wo Tg , T^ , . . . T.._^ rationale Functionen von x, so ist iden- 

 tisch für jede Function t 



(M.) ^^ = M,{t)H{t). 



Da nun nacli Gleichung (M) 



so folgt aus Satz II: 



IV. Setzen wir 



so ist 7 nicht von x unabhängig. 



Nach dem Theoreme in Nr. 10 ergiebt sich demnach: 



V. Wenn die Differentialgleichung (A) den Anforde- 

 rungen (pL) in Nr. 1 1 genügt, so ist die Gleichung (H'), also 

 auch die Gleichung (H) reductibel. 



Diese Eigenschaft ist für die specielle Differentialgleichung (A), 

 welche den Anforderungen [a] in Nr. 1 i genügt, eine fundamentale, 

 wie insbesondere aus dem Bei-spiel, welches wir in den folgenden 

 Nummern entwickeln wollen, hervorsreht. 



14. 



Zu den linearen Difterentialgleichungen , welche die Anforderungen 

 {et) in Nr. i i befi-iedigen , gehören die Differentialgleichungen, welchen 

 die Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Functionen genügen , die 

 ich in Borchakdt's Journal Bd. 71 S. 9 1 gegeben habe. Es wird 



