Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Forts.) 1287 



WO äq, Ä, . . .oi„_, rationale Functionen von x bedeuten, alsdann ist 



w ^ ») 

 der Periodicitcätsmodul des Integrals erster Gattung 



s 

 und es sei für diesen Fall nach Gleichung (A,) 



^^'^ ~dö^ ^ -^' ^^^ 'd^F^ + • • • + pA^) >) = o . 



Wir wollen beweisen, dass 



(5) w = (^o>) + (;),*i'+ . • . + (?>„-,*]'"""*, 



wo (po, (p^, . . . (p2n—i rationale Functionen von x und die oberen Accente 

 Ableitungen nach x bedeuten. 



Wenden wir die Gleichung (3) auf den Fall an, wo wir g{2) 

 nach Gleichung {4) bestimmt haben, und setzen daselbst successive 

 o , 1 , 2 , . . 2/i — I fiir a, so erhalten wir ein System von Gleichungen, 

 aus welchen wir im Allgemeinen herleiten können 



6^0,1,2,. ..2« — I, 



WO öo, ?,,... Ö2„_, rationale Functionen von x und 1^1,(2^) rationale 

 Functionen von z bedeuten. 



Integrii'en wir beide Seiten dieser Gleichung längs eines ge- 

 schlossenen Umlaufs der Variabein z, welcher den Periodicitätsmodul ■/] 

 liefert und bezeichnen den entsprechenden Periodicitätsmodul von 



/■ 



— dz 



s 



mit ^1,, so folgt aus Gleichung (6) 



Nun ist nach Gleichung (3) fttr eine beliebige rationale Function 

 g(z), die nur für die Wurzeln der Gleichung (p(z,x) = o unendlich 

 wird, 



(8) y = ^ =' 2>„, - + ä- (^°(-') ') ■ 



Integriren wir diese Gleichung nach z längs derselben Cuiwe, so folgt 



(9) «i' = '^bKb^i- 



Demnach ist nach Gleichung (7) 



Sitzungsberichte 1888. 119 



