1288 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 13. December. 



womit unser Satz bewiesen ist. 



Es mögen nunmehr die Coefficienten von ^{2 , x) und von g(z) 

 ganze rationale Functionen eines Parameters k sein (wir können als 

 solchen z. B. einen Verschwindungswerth der Function (p{z , x) wählen), 

 so genügt der Periodicitätsmodul des Integrals 



n [g{z)^ 



dk\ s 



einer Differentialgleichung (A,), derselbe ist daher in der Form (lo) 

 enthalten. Andererseits ist dieser Periodicitätsmodul, wenn wir g(z) 



nach Gleichung (4) bestimmen, auch mit ^ übereinstimmend. Demnach 



genügt >) einer Gleichung der Form: 



(") äi = ^°^ + ^-^ + --- + ^^— <^^- 



Diese Gleichung bleibt bestehen, wenn für »j irgend ein Periodici- 

 tätsmodul des Integrals 



dz , 

 s 



d. h. irgend ein Integral der Gleichung (A.) eingesetzt wird. Wir 

 erhalten also den Satz: 



II. Die Differentialgleichung (A,) genügt den Anfor- 

 derungen (a) in Nr. 11.' 



In meiner oben erwähnten Arbeit'^ habe ich gezeigt, dass die 

 Coefficienten der zur Differentialgleichung (Aj) gehörigen Substitutions- 

 gruppe von k unabhängige, nämlich wohlbestimmte, ganze 

 Zahlen sind. Dieses ist also in vollkommener Übereinstimmung 

 mit den Sätzen in Nr. i i und 1 2 . 



15. 



Bilden wir jetzt die Differentialgleichung (H) für unsere Diffe- 

 rentialgleichung (A2) 



{H,') '^ + R,{x)-^ + ... + R^{x)t^o, 



' Ein Beispiel hiervon für den Fall der elliptischen Integrale habe ich bereits 

 in Borchardt's Journal Bd. 83 S. 3 i hervorgehoben und daselbst aus der entsprechen- 

 den Gleichung die LEGENDRE'sche Relation zvcischen den Perioden der Integrale erster 

 und zvv^eiter Gattimg hergeleitet. 



^ Borchardt's Journal Bd. 71 S. 100. 



