Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Forts.) 1289 



SO folgt aus dem Satze V, Nr. 13, dass (H,') reductibel ist. Demnach 

 ist auch die der Gleichung (H) entsprechende Differentialgleichung, 

 welche wir aus (A,) herstellen, reductibel. Dieselbe sei 



(H.) ^ + P.(a:)'^ + ... + P»« = o. 



Nach Satz II, Nr. 9 giebt es also in der zu (H,) gehörigen 

 Classe von Differentialgleichungen auch solche niedriger 

 als vter Ordnung, d. h. wir können die rationalen Functionen 

 von X , (/)o ,</),,.. . (/)„_, so bestimmen , dass 



(l) IC ^ (pgU +</>,«'+••• + <f „_,«*""'' 



einer Differentialgleichung niedriger als vtev Ordnung Genüge leistet. 

 Drücken wir mit Hülfe des aus unserer Gleichung (A,) herzustellenden 

 Systems von Gleichungen (F) nämlich 



die Ableitungen von ?< durch die Functionen «„, w, , . , . «„_, aus, so 

 erhält w die Form 



(2) w = -^/o^o + ^^,?^ + . . . + -^/.-.w-,,-, , 



wo -^/q ,%//,,.. . ■4^,_^ rationale Functionen von x bedeuten. Setzen 

 wir in (2) an die Stelle von u^ successive Wox;^u> • • ■ f-K—o. und be- 

 zeichnen die zugehörigen Werthe von w mit iv^ , iv^, . . . ?c„_, , so ergiebt 

 sich daraus, dass w einer Differentialgleichung niedriger als vter Ord- 

 nung Genüge leistet, dass Wo,ii\, . . . u\_^ Relationen der Form 



(T) 7o«'o 4- 7iW', + . . . + 7.-i«\.-i = o 



mit von x unabhängigen Coefficienten erfüllen. 

 Es sei 



X 

 (3) «' = %>.o1 + %X>*l' +•••+%>. 2«-. V'""", (X = I,2,...«) 



WO %,^ rationale Functionen von x bedeuten. Sind >i, , »i, , . . . »i,« die 

 Periodicitätsmoduln des Integrals 



(wo c/(z) nach Gleichung (4) voriger Nummer bestimmt ist) an den 

 2)1 Querschnitten, so bilden dieselben im Allgemeinen ein Funda- 

 mentalsystem der Gleichung (A,). Setzen wir in (3) yh ah Stelle von vj, 



so möge der zugehörige Werth von v mit v bezeichnet Averden. 



Bilden wir nun mit den Grössen v die Determinanten ' 



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