rein geometrischen Theorie der alcjehraischen ebenen Curven. 



Das Besondere unterliegt ewig dem Allgemeinen; 

 Das Allgemeine hat ewig sich dem Besondern zu fügen. 



[Goethe] 



Einleitung. 



Wie in der Analysis die durch reelle Gröfsen nicht lösbaren Glei- 

 chungen zweiten Grades zur Einführung der complexen Zahlen nöthigen, 

 so drängen sich in der Geometrie die imaginären Gebilde bei den Auf- 

 gaben zweiten Grades auf, denen kein reelles Gebilde Genüge leistet. Die 

 Aufgaben zweiten Grades der Ebene lassen sich im Wesentlichen alle auf 

 die folgende und ihre dual gegenüberstehende zurückführen: 



Gegeben auf einer reellen Geraden zwei projectivische Punktreihen 

 A,B,C,... A A,B,C,... , 

 gesucht werden die beiden Reihen gemeinsamen Punkte. Zwei reelle und 

 verschiedene Punkte sind der Reihe A^B^^Cy . . . mit unendlich vielen Rei- 

 hen gemeinsam, und es liegt eine bestimmte unter ihnen mit Aj^B^C^ . . . 

 in Involution (ABC . . .). 



Die Punkte, welche der gestellten Aufgabe entsprechen, sind jeden- 

 falls eindeutig bestimmt als Doppelpunkte der Involution AA^ , BB^^, von 

 der dann kein Paar das andere trennt. Wenn irgend zwei und folglich 

 je zwei Paare einer Involution einander trennen, so betrachtet man die- 

 selbe als Darstellung der dann nicht reell vorhandenen Doppelpunkte der 

 Reihen 



ABC... Ä A,B,C^... 



Die so gewonnenen conjungirt imaginären Punkte und die dual gegen- 

 überstehenden conjungirt imaginären Strahlen kann man bei einfacheren 

 geometrischen Constructlonen an Stelle zweier reeller Punkte oder Ge- 

 raden einführen, nachdem man jenen eine für beide Fälle gleich verlau- 

 fende Lösungsform gegeben hat. In erster Linie kann man in dieser 



