8 E. K ü T T E K : Grundzüge einer 



Weise die Bestimmungen des Kegelschnittes aus gegebenen Punkten und 

 Tangenten umgestalten. 



Allein der Umstand, dafs man so die imaginären Gebilde nur 

 paarweise behandeln kann, während die Deduction doch häufig einzelne 

 imaginäre Punkte und Strahlen verlangt, birgt grofse Unbequemlichkeiten. 

 Soll z. B. eine Gerade durch zwei imaginäre Punkte gelegt werden, so 

 müssen ihre Träger zunächst in der Art persjjectivisch bezogen werden, 

 dafs Paare ihrer Involutionen einander entsprechen. Dies geht aber in 

 zwei verschiedenen Weisen an; daher giebt es zwei verschiedene Punkte 

 S und /Sj, von denen aus die Involutionen beider gegebener Punkte durch 

 dieselbe Strahleninvolution projicirt werden. Es bleibt völlig unbestimmt, 

 welcher von beiden mit den gegebenen Punkten in einer Geraden liegt. 



Das volle Verdienst, diese und andere Schwierigkeiten der geome- 

 trischen Imaginären -Theorie überwunden zu haben, kommt von Staudt 

 zu. Seine bezüglichen Untersuchungen sind in den „Beiträgen zur Geome- 

 trie der Lage" niedergelegt (drei Hefte, Nürnberg 1856, 1857 und 1860). 

 Die beiden verschiedenen Bewegungsrichtungen, welche irgend eine Ge- 

 rade zuläfst, kann man durch die Punktfolgen ABA^B-^^ und AB^A-^B 

 fixiren, wenn AA^ und BB^ Paare einer Involutio)i derselben ohne Dop- 

 pelelemente sind. Von Staudt hat nun den glücklichen Gedanken, diese 

 Punktfolgen als Darstellungen der beiden conjungirten Punkte zu betrach- 

 ten, welche durch die Involution bedingt werden. Bei allen Darstellun- 

 gen des ersteren (CDC^Dj) durch irgend zwei Paare CC-^ und DD^ sei- 

 ner Involution sollen C, D und (7^ in dem einmal bestimmten Sinne ABA^ 

 folgen. Ganz in derselben Weise werden die beiden conjungirten Geraden 

 getrennt, welche durch irgend eine elliptische Strahleninvolution bedingt wer- 

 den. Bei allen Darstellungen a 6 «j^ö^ ; cfZcjf/j; .. . der einen sollen et, i,a^; 

 c,d,c-^; . . . in demselben (Drehungs-) Sinne auf einander folgen, bei allen 

 Darstellungen ah^a^h ; cd^c^d; . . . der zweiten aber «, ij,Oj ; c,f/j,c^ ; . . . 

 in dem zu jenem entgegengesetzten Sinne (Beiträge No. 116). 



Nunmehr bestimmen irgend zwei imaginäre Punkte der reellen 

 Ebene eine imaginäre Gerade. Denn die Träger der ersteren können 

 nur in einer Weise perspectivisch so bezogen werden, dafs je zwei Dar- 

 stellungen derselben einander entsprechen. Daher ergiebt sich auch nur 

 ein reeller Punkt, der mit den gegebenen in einer Geraden liegt, von 



