12 E. K ö X T E R : Grundzüge einer 



letzteren ist folglich ein Leitstrahl des Systems, welches der Geraden zu 

 Grunde liegt. Alle durch P und Q, gehenden Ebenen haben die durch 

 beide bestimmte Gerade und alle ihre Punkte gemeinsam. Wenn P und 

 Q eine Gerade erster Art bestimmen, so liegt diese ebenfalls ganz in 

 der Ebene. 



Eine Gerade und ein Punkt bestimmen eine Ebene. Wenn beide 

 imaginär sind, so legt man zuerst durch letzteren eine reelle Ebene, die 

 mit der Geraden einen zweiten imaginären Punkt gemeinsam hat. Die 

 beide Punkte enthaltende Gerade hat einen reellen Punkt, von dem aus 

 die einzige Ebene durch die Gerade sich legen läfst, die auch den ge- 

 gebenen Punkt enthält. Ebenso hat eine Gerade mit einer Ebene, in der 

 sie nicht ganz liegt, einen Punkt gemeinsam. 



Drei imaginäre oder theils reelle Punkte liegen entweder in einer 

 Geraden, oder sie bestimmen eine Ebene. Drei reelle oder theils imagi- 

 näre Ebenen gehen entweder durch eine Gerade, oder sie bestimmen einen 

 einzelnen ihnen gemeinsamen Punkt. Daraus sieht man, dafs die Ele- 

 mente des Raumes, wenn man imaginäre und reelle zusammen nimmt, 

 dieselben Grundeigenschaften erfüllen, welche bei dem Räume der reellen 

 Elemente gültig waren. Auch jetzt noch kann der Punkt der Ebene re- 

 ciprok gegenübergestellt werden, und die Gerade nimmt zwischen beiden 

 die Mittelstellung ein. Soll die Geometrie der Ebene allgemein behan- 

 delt werden, so braucht man nur diejenige irgend einer reellen Ebene 

 behandeln und kann dann diejenige irgend einer zweiten reellen oder 

 imaginären Ebene dadurch herstellen, dafs man sie auf die erste perspec- 

 tivisch bezieht. 



In dem zweiten „Beitrage zur Geometrie der Lage" entwickelt 

 von Staudt in erster Linie, wie man einförmige Gebilde projectivisch 

 beziehen kann. Irgend ein Element S eines Trägers liegt zu drei an- 

 deren PQR desselben entweder neutral, oder es ist im Sinne PQR oder 

 QPR beschrieben. Wenn man es mit Punkten derselben Geraden zwei- 

 ter Art und mit den Trägern pqrs zu thun hat, so gehören diese im 

 ersten Falle zu derselben Regelfläche. Im zweiten Falle ist die Darstellung 

 von S im Sinne von fqr, und im dritten im Sinne qpr beschrieben. 

 (Seite 11.) Diese Definition bleibt dann bestehen, wenn PQRS Ebenen 

 sind, welche dieselbe Gerade zweiter Art enthalten (Beiträge No. 196). 



