14 E. K ü T T E R : Grundzüge einer 



trennt werden. Die Bezeichnungen werden auf perspectivische Gebilde 

 übertragen; alle reellen Elemente eines reellen Trägers gehören derselben 

 Kette an, welche harmonisch durch irgend zwei conjungirt imaginäre 

 Elemente getrennt wird. Bei einem Strahlbüschel mit imaginärem Cen- 

 trum in einer reellen Ebene liegen die reellen Punkte aller Strahlen einer 

 Kette auf einem Kegelschnitt, der das Centrum und den hierzu conjun- 

 girten Punkt enthält. 



Zwei einförmige Gebilde sind projectivisch, wenn jedem Elemente 

 ein Element entspricht, und überdies zwei entsprechende Würfe, was den 

 Sinn anbelangt, übereinstimmen, insbesondere also jeder Kette eine Kette 

 oder jedem neutralen Wurfe ein neutraler Wurf entspricht (Beitr. 215). 

 Jedem harmonischen Wurfe gehört dabei ein harmonischer Wurf zu. 

 Trennen nämlich die Punkte MN einer imaginären Geraden zweiter Art 

 die beiden Punktepaare AA-^ und BB^ derselben harmonisch, so liegen so- 

 wohl die vier Träger rnnaa^ als auch mnbb^ harmonisch. a und a^, 

 sowie b und 6^ entsprechen sich in dem involutorischen Systeme mit den 

 Ordnungslinien m und n. In demselben gehören die Regelflächen mab 

 und ma^b-^ einander zu. Der Geraden jj, welche in ersterer noch von 

 einem Punkte von m ausgeht, entspricht eine Gerade 2^1, die von dem- 

 selben Punkte von m ausgeht und in der Ebene «i^-* hegt. Daher be- 

 rühren sich mab und ma-^b^ längs m oder sie haben nur ?» gemeinsam, 

 und es gilt analoges von mab^ und ina^b. Wenn diese beiden Eigen- 

 schaften erfüllt sind, so giebt es eine zweite Gerade n, die mit m zusam- 

 men aa^ und bh^ harmonisch trennt. Wenn in einer zweiten projecti- 

 vischen Geraden zweiter Art jenen Punkten diejenigen mit den Trägern 

 m', n\ a', a[^ b', b\ entsprechen, so gehören jenen Regelflächen die folgenden 

 ma'b' und 7n'a[b[, sowie m'a'6^ undrn'a^b' zu, die je nur ?n' gemeinsam 

 haben, darum mufs m' mit einem anderen Strahle sowohl a'al als auch 

 i'6j harmonisch trennen. Da eine analoge Entwickelung für 7i und n' 

 gemacht werden kann, und nur ein Punktepaar m'n' die beiden harmoni- 

 schen Trennungen bewirken kann, so gehören die harmonischen Würfe 

 mnatty und m' n' a' a\ oder n'm' a' a\ einander zu. Der Satz überträgt sich 

 durch eine Reihe von Projectionen auf alle einförmigen Gebilde. 



Wenn zwei reelle einförmige Gebilde so projectivisch sind, dafs 

 irgend drei reellen Elementen des einen drei reelle des anderen entsprechen, 



