rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Citrven. 21 



mit imaginärem Centrum kann durch die reellen Punkte seiner Ebene 

 repräsentirt werden; nämlich jeder fixirt eindeutig den imaginären Strahl, 

 welchem er angehört. Ebenso kann man den Punkt einer imaginären 

 Geraden durch seinen Träger, ihre Gesammtheit durch die reellen Ge- 

 raden der Ebene darstellen. Um die Punkte einer reellen Geraden oder 

 die Geraden eines Strahlbüschels mit reellem Centrum festzulegen, projicirt 

 man erstere von einem imaginären Centrum aus, und schneidet letztere 

 durch eine imaginäre Gerade. Das imaginäre Element eines der ersteren 

 Gebilde wird dann durch den reellen Träger des entsprechenden Elemen- 

 tes in dem zugehörigen zweiten Gebilde eindeutig fixirt". 



Zur Klarlegung der allgemeinen projeetivischen Beziehung haben 

 wir den Zusammenhang unter den reellen Gebilden der Ebene festzu- 

 stellen, die ein Strahlbüschel und eine dazu perspectivische Gerade reprä- 

 sentiren. Dabei sind die vier Fälle zu unterscheiden, dafs nur das Cen- 

 trum oder nur die Gerade imaginär ist, oder dafs beide es sind, oder 

 dafs endlich beide reell sind. Wegen der Repräsentation einer Punkt- 

 reihe mit reellem Träger handelt es sich im ersten Falle um zwei Strahl- 

 büschel mit den imaginären Centren A und B, die zu derselben reellen 

 Geraden perspectivisch sind. Das zweite Problem aber nimmt die zu 

 jener duale Gestalt an. 



In den Repräsentationsebenen zweier projectivischer Gebilde sind 

 die Hauptelemente zu beachten. Alle reellen Punkte des Trägers eines 

 imaginären Grundpunktes bestimmen nur diese eine von ihm ausgehende 

 Gerade und also auch nur ein Element des rejsräsentirten Gebildes. Allen 

 diesen Punkten entspricht nur ein Element, das Hauptelement der zweiten 

 Repräsentationsebene, während den Punkten aller anderen Geraden ein- 

 fache Mannigfaltigkeiten zugehören. Dient eine imaginäre Gerade zur Re- 

 präsentation des ersten Gebildes, so bestimmen alle durch ihren reellen 

 Punkt gehenden Geraden ein Element desselben. Ihnen allen gehört da- 

 her nur ein Element, das Hauptelement der zweiten Repi'äsentationsebene 

 zu. Natürlich giebt es auch in der ersten Ebene ein Hauptelement. 



§ 4. Hülfssatz. Die Linien, welche irgend zwei feste Punkte 

 E, £'j mit den Punktepaaren AA^, BB^, CCj^ . . . einer gegebenen Invo- 

 lution verbinden, schneiden sich auf dem Kegelschnitt, für den die Paare 



