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gleichläufig, im letzteren aber ungleicUäufig. Daher entspricht der Punkt Ä^ 

 dem Punkte B . Die Geraden a der Ebene A sind also auf die Centren B der 

 entsprechenden Strahlbüschel der Ebene ß so bezogen, dafs den Strahlen 

 23a und ß der einen die Punkte a/3i und A^ der anderen entsprechen. 



§ 13. Es giebt Geraden der Ebene A, denen die Tangenten einer 

 Kette der Ebene ß entsprechen. Sie berühren alle den Hauptstrahl a der 

 letzteren. Die Gerade OA^ der Figur 3 (S. 32) ist eine solche. Dem Punkte 

 entspricht die Gerade o, der B; OA^, «^ und OB^, h^ angehören, dem 

 Punkte A-^ aber die Gerade a. Dem Schnittpunkt D von OA^ mit b ge- 

 hört die Verbindungslinie von A mit o, a^ zu. Denn es sind auch BA^B^A 

 und büib^a projectivische Darstellungen der Elemente A und ß und die 

 gesuchte Gerade ist also zu D^BA^B^A) und ba-^b^a gleichzeitig perspec- 

 tivisch. Durch den Schnittpunkt von DA^ oder OA^ mit a^ geht aber 

 auch . Da auch A der Geraden angehört, so werden ihre Schnittpunkte 

 mit a und o von S3 aus durch das Geradenpaar aa^ projicirt. Ist nun 

 der Satz richtig, so müssen die Geraden, welche Punkten von OA^ ent- 

 sprechen, auf a und o projectivische Reihen ausschneiden und ßß'^ die 

 Doppelstralilen der Büschel sein, die sie von 23 aus projiciren. Da in 

 letzteren a und a^ einander entsprechen, so müssen auch alle anderen Paare 

 der Involution ß auf a und o zusammengehörige Punkte bestimmen. 



Folgende Construction führt nach § 12 zu einem Paai*e zusammen- 

 gehöriger Elemente. Es sei X ein Punkt von a. Es mögen x, y, z 5B X zu 

 Paaren der Involutionen ß, 23A, 33t/ ergänzen; J^und Z seien die Schnitt- 

 punkte y, a imd z, OA^. Ist X^ der Schnittpunkt von YZ mit x, so ge- 

 hört XX^ dem Punkte Z zu. Ist andererseits X' der Schnittpunkt von 

 YZ mit 0, so sind XX' und Z entspi'echend , wenn X und X' von 23 

 aus durch ein Paar der Involution ß projicirt werden. 



y und z bewegen sich involutorisch, und folglich Y und Z projecti- 

 visch zu 23 X. Der deshalb von YZ umhüllte Kegelschnitt mufs auch o 

 berühren. Aus 



ABA^B^ Ä ABA[B; 

 folgt auch 



ABA^B^ Ä BAB;A[ . 



Da der letztere Wurf eine Darstellung von ß' ist, so sind (§ 12) auch 



