36 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



§ 15. Bezieht man aus einer Eeihe von abwechselnd Punkten 

 und Geraden jedes folgende Glied perspectivisch auf das vorhergehende 

 und repräsentirt man jedes einzelne Gebilde mit Hülfe eines imaginären 

 Punktes oder einer imaginären Geraden, so gilt für je zwei auf einander- 

 folgende Eepräsentations- Ebenen eine der in den §§7, 10 und 11 ange- 

 gebenen Beziehungen. Auch für zwei in die allgemeinste projectivische 

 Beziehung gesetzte einförmige Gebilde liefert daher einer dieser drei Sätze 

 den Ausdruck. Sie lassen sich etwa in folgender Weise zusammenfassen : 

 Werden zwei einförmige projectivische Gebilde von zwei imaginären Grund- 

 elementen (A und B) aus repräsentirt, so entspricht jeder Kette eine pro- 

 jectivische, jedem durch zwei Elemente (A-^ und A^ der einen Ebene 

 bestimmten einfachen System projectivisch das durch die zugehörigen Ele- 

 mente (Z?j und B^ bestimmte. Die Grundelemente bestimmen auf zwei 

 entsprechenden der vier festen Elemente {A^ und B^ und ihre conjun- 

 girten auf den beiden übrigen homologe Gebilde (-^jA, A^^X"^, B^B, -ßgBi). 

 Die Hauptelemente gehören unendlich vielen Paaren entsprechender ein- 

 förmiger Gebilde an. Die Träger derselben sind so projectivisch be- 

 zogen, dafs das erste Grundelement und das conjungirte zum zweiten 

 homologe Elemente bestimmen. 



Besonders einfach ist die Beziehung zwischen zwei Büscheln mit 

 demselben Kreispunkt zum Centrum. Es entsprechen einander projecti- 

 vische Kreise und Kreisbüschel. In den Tangentenbüscheln in entspre- 

 chenden Punkten gehören projectivische Darstellungen der Geraden ein- 

 ander zu, die nach dem betreffenden Kreispunkt führen. Da mithin 

 zwei senkrechten Strahlen des einen Büschels zwei senkrechte im an- 

 deren entsprechen, tritt dies dann und nur dann ein, wenn die beiden 

 Strahlbüschel congruent und gleich gerichtet sind. In den beiden übri- 

 gen Grundpunkten sind die Tangentenbüschel mit jenen congruent, aber 

 entgegengesetzt gerichtet. Die Hauptpunkte der beiden Ebenen entspre- 

 chen der unendlich fernen Geraden. Jeder Geraden, welche den einen 

 enthält, entspricht eine projectivische und von dem anderen ausgehende. 

 Sie bilden congruente, aber entgegengesetzt gerichtete Büschel. 



Haben zwei projectivische Büschel die beiden verschiedenen Kreis- 

 punkte zu Centren, so ist nur „gleich"- und „entgegengesetzt -gerichtet" 

 in dem vorstehenden Ausspruch zu vertauschen. 



