42 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



und wird, wenn sich der bewegliche Punkt genügend weit von J^ ent- 

 fernt, so grofs, wie man nur immer will. Die andere Sj'^^tte, welche 

 der J^-Kette durch den beweglichen Punkt projectivisch entspricht, ist 

 für genügend nahe bei J^ gewählte Punkte so grofs, wie man nur immer 

 will, verändert sich ebenfalls stetig, und wird so klein, wie man nur im- 

 mer will, für genügend entfernte Lagen des beweglichen Punktes. Wir 

 wollen eine Endlage desselben so wählen, dafs die zugehörige zweite So- 

 Kette Cj innerhalb der kleinsten Sj'Kette der ersten Art liegt. Wir wollen 

 eine Anfangslage des Punktes so nahe bei Jj wählen, dafs die zugehörige 

 zweite 3,-Kette Cj alle ersten S.j" Ketten umschliefst, die bis zur gewähl- 

 ten Grenzlage möglich sind. Während die zweite Sj-Kette einen stetigen 

 Übergang von c^ zu c^ macht, geht die zweite, ohne die Grenzlagen c-^ 

 und Cg zu erreichen, von einer zwischen beiden gelegenen Anfanglage c\ 

 zu einer ebenfalls zwischen c^ und Cg gelegenen Endlage c'^ über. Daher 

 mufs es wenigstens eine Kette geben, die c^ ein- und e^ ausschliefst, und 

 in der eine erste mit einer zweiten Sg'Kß^tß zusammenfällt. Mit ihrer ent- 

 sprechenden Jj- Kette schneidet sie sich auf dem von J^ ausgehenden 

 Zweige der ersteren Curve in wenigstens einem Punkte. Auf dem von 

 Jj und ebenso auf dem von ^2 ausgehenden Zweige der ersteren Curve 

 giebt es also wenigstens einen Coincidenzpunkt, so dafs ihrer im Allge- 

 meinen genau (§ 20) zwei vorhanden sind. Besteht die Curve aus zwei 

 einmal gebrochenen Zweigen, und ist der Mittelpunkt M selbst ein Coin- 

 cidenzpunkt der beiden Reihen, so ist kein zweiter vorhanden. Da aber 

 bei projectivischen Reihen, die einen Coincidenzpvmkt bei M haben, es 

 noch einen zweiten ebenfalls bei M gelegenen giebt, so können wir sagen, 

 dafs in diesem besonderen Falle bei M zwei Doppelpunkte vereinigt liegen. 



