rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Ciirven. 49 



In der projectivischen Beziehung 



A^B.C,.. Ä B,A,^' ... 



durchläuft 6' die Halbkette A^^^B^ , wenn (5 die Halbkette SKS^SS durch- 

 eilt, deren Anfangs- und Endlagen A^A^ und B^B.^ zugehören. Für die 

 Herstellung der Paare, welche Punkten des Bogens 9t(5]^33 entsprechen, 

 hat man also die Halbketten A^CBj^ und B^(S,'^A.2 und folglich überhaupt 

 zwei feste Halbketten 4jß^ und i?2^2 einander zuzuweisen; in den vier 

 Tangentenbüscheln entsprechen A^A. ; -ßiA^; 5.2^' -^2^^ einander. Zwei 

 entgegengesetzten Halbketten A^B^ gehören zwei entgegengesetzte Halb- 

 ketten B.2A2 zu. Die letzteren vertauschen sich, wenn 916^33 durch die 

 entgegengesetzte Halbkette vertreten wird. Einer ganzen Kette 9133 ge- 

 hört daher das Erzeugnifs der Kettenbüschel zu, die den gefundenen Tan- 

 gentenbüscheln sich anschliefsen. Mit der Kette ,3391 bewegt sich die 

 A^CB^ zuzuordnende Kette ßg^i'^g projectivisch. Hierin kann die erstere 

 Kette B^CA^ ganz willkürlich gewählt werden. Speciell liefert das B-^ 

 A.^Ay zugehörige Kettenbüschel ^2^2 ^^^ Tangentenbüschel des unter- 

 suchten Büschels ^jAj , i?i52 bei A2, und da.?, B^B^A^ zugehörige Büschel 

 A^B^ dasjenige bei B.^. Dieselben sind also (§ 18) zu den Tangenten- 

 büscheln der Ketten 9t 33 so reell -projectivisch, dafs die imaginären Strah- 

 len 91 B ; 23 B^ ; ^2-'^' -^2^^ einander entsprechen; natürlich sind, da sich 

 ilj , B^ gegen A^ , B^ vertauschen lassen, die Büschel bei A.^ und B^ zu jenen 

 projectivisch, und es entsprechen den vorigen imaginären Strahlen A-^S. 

 und B-^k^. Die Tangenten in A^ und A.^ bewegen sich daher in einer, 

 und die in B^ und B.^ in der entgegengesetzten Richtung, wenn A im 

 Unendlichen liegt. Von jeder Halbkette A^A^, B^B^ werden die Halb- 

 tangenten nach Aufsuchung von irgend vier zusammengehörigen durch die 

 Festsetzung fixirt, dafs die Halbstrahlen gesti-eckter Winkel bei ^^ , A, , 

 B^ , i?2 einander zugehören. Tritt an die Stelle von B^B^ der eine Doppel- 

 punkt 7)^ , so ist 



A^CD^... Ä /)i6M2... 



In den Tangentenbüscheln der projectivischen Kettenbüschel A^D^ und 

 D^A.2 gehören die imaginären Strahlen ^Ij; A ; D^h} ; D^A ; A^k^ einander 

 zu. Im Punkte D^ ergeben sich, weil die beiden Strahlbüschel D^ ent- 

 gegengesetzten Sinnes sind, zwei verschiedene sich selbst entsprechende 



Math. Abh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1887 . I. 7 



