rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 59 



BoB^ . . . B^ ist, so bilden Cg , Cy , ... C^ eine Gruppe der beiden Invo- 

 lutionen : 



1) 4^3 . . . 4 , 5i($3 ...&„ und 2) B^B^ ■■■ B„, ^163 . . . 6„ . 

 Sie sind die Doppeleleraente der Reihen 



A^A^ . ..A^, 6364 ...(S„, ... Ä B^,A^, ... , 

 wenn auf das durch B^ bestimmte Glied der Involution das Element C[ 

 bezogen wird, das mit Cj ein Paar der Involution A^A^ , B^B^ bildet. 

 Hat die den Involutionen 1) und 2) gemeinsame Gruppe bei Cj ein 

 p — ifaches Element, so ist C^ ein ^^faches Element in der untersuchten 

 Gruppe der Involution nter Ordnung. Solche Gruppen werden als singu- 

 lare Gruppen, die mehrfachen Elemente als singulare Elemente der In- 

 volution bezeichnet. Es kann in einer Involution ?iter Ordnung höchstens 

 2(?i — 1) Elemente solcher Art geben. 



§ 34b. Bei einer Involution mit einem n fachen Element 7)^ als 

 Gruppe giebt es im Allgemeinen n — 1 gewöhnliche Doppelelemente. Fin- 

 det man ^verschiedene PiiPo-, • • -^J^fach zählende singulare Elemente, so ist 



i^i + P2 + • • • i'i = ^* — 1 + / . 

 Bei einer allgemeinen Involution können neben einem jj^ fachen Elemente 

 noch 2n — 1 — py, neben einem ^^ fachen und einem ^-'of^chen noch 

 2« — p^ — jJg andere singulare Elemente auftreten. 



§ 35. Eine Strahleninvolution wird von jeder Geraden in einei' 

 projectivischen Punktinvolution nter Ordnung geschnitten, diese aber von 

 jedem Punkt aus durch eine projectivische Strahleninvolution projicirt. Da- 

 her kann alles Übrige zurückgeführt werden auf die Betrachtung von Strah- 

 leninvolutionen mit einem beliebigen imaginären Mittelpunkt A. Wir neh- 

 men ihn in der Unendlichkeit an. Alsdann wird eine Strahlengruppe durch 

 den unendlich fernen Strahl und n — 1 reelle Punkte der Endlichkeit reprä- 

 sentirt, jede andere Gruppe aber durch n im Endlichen liegende Punkte. 

 Die Betrachtung der Involutionen kann also ersetzt werden durch die Be- 

 trachtung reeller in einer Ebene ausgebreiteter Gruppen zu «Punkten, 

 bei welchen aber der involutorische Charakter erhalten bleibt, dafs jeder 

 Punkt nur in einer Gruppe auftritt. Eine solche Gesammtheit wollen 



