rein geometrischen Theorie der ulgehraischen ebenen Curven. 63 



DritterAbschnitt. 



Erweisung der vorstehenden Sätze durch Schlüsse von n auf n-\- 1. 



§§ 40—70. 



§ 40. Die Sätze des Abschnittes II sind im Abschnitt I für In- 

 volutionen zweiter Ordnung (n = 2) vollständig bewiesen. § 32 ergiebt 

 unter solchen Umständen eine Definition der Involution dritter Ordnung; 

 die §§ 33 — 39 stellen Lehrsätze über sie auf. Sind dieselben erprobt, 

 so kann man unmittelbar zu den Involutionen vierter Ordnung über- 

 gehen. Wir wollen zeigen, dafs Definitionen und Lehrsätze für Involu- 

 tionen n-\- \ ter Ordnung vereinbar sind, wenn dies für alle Involutionen 

 bis zur niQxi Ordnung hinauf der Fall ist. Die Glieder einer neuen Reihe 

 mögen also aus den Coincidenzpunkten der j^rojectivischen Involutionen 

 desselben Trägers A 



I) ^1 • • ■ 4-™+i , ^1 • • • ^n-™+: , (5;(52 • . . (5:_„,,„ . . . Ä 



bestehen. Ein einzelnes Glied wird, durch die Gruppe 6„_„+2 . . . 6„+j 

 festgelegt, welche der festen Gruppe (5^ . . . föj_„ + j der ersten Involution 

 zugeordnet werden mufs, damit es entstehe. Ein Punkt, der nicht beiden 

 Gruppen A-^^A^... 4+i ^^^ ■^1-^2 • • • ^n + i gemeinsam ist, gehört nur 

 einer Gruppe der Involution n -\-\ ter Ordnung an. Denn er bestimmt, 

 wenn er mit keinem der A^ oder B^ zusammenfällt, je eine neue Gruppe 

 der beiden erzeugenden Involutionen. Da dieselben einander entsprechen 

 müssen, so ist auch die projectivische Beziehung der beiden Reihen ge- 

 geben, und damit auch die Gruppe 6„_„+2 • • • ®n+i- Fällt der Punkt 

 aber etwa mit A^ zusammen, welche Stelle der Gruppe B nicht angehört, 

 so bestimmt er nur das eine Glied A^A^^... 4-m+i der ersten und ein von 

 -ß„_m+2 • ■ • -^n+i verschiedenes Glied der zweiten Involution. Die beiden 

 letzteren und folglich (§ 16, Zusatz 1) alle Glieder der zweiten Involution 

 werden somit A^A^ . . • 4-m+i zugewiesen. Ebenfalls nach § 16 werden 

 aber ebenso dem einen Gliede 4-m+2 • • • 4 + i d^'* zweiten Reihe alle 

 Glieder, unter ihnen auch ^[^'2 ■ ■ -^'n-m+i^ ^^^ ersten Involution zu- 



