rein geometrischen Theorie der aJgehraischen ebenen Curven. 11 



Tangenten in Z)j und E^ bewegen sich in einer, diejenigen in D^ und 

 E.^ in der entgegengesetzten Richtung. 



Da der Satz für n^ o und n=\ (§§ 27 — 30) richtig ist, so braucht 

 nur noch von n auf n-\~ l geschlossen werden. Irgend eine der betrach- 

 teten Involutionsgruppen ist den projectivischen Feldern 



D\Dl . . . Ä D.,D^ . . . 



gemeinsam. Jeder D^ und T), beigeordneten Kette des Involutionsfeldes 

 entspricht eine Dg und D^ beigeordnete Kette im Punktfelde. Mit dem 

 Übergange der ersten von D^ nach D^ ist der umgekehrte bei der zwei- 

 ten Reihe verknüpft. Beide begegnen einander daher einmal, und auf 

 dieser Kette liegt die untersuchte Gruppe. 



Andererseits entspricht je einer Gruppe von ?i Halbketten Z)^ , A, 

 eine Halbkette D^,Dy Schreiten die n Halbtangenten in D^ in einer Rich- 

 tung fort, so mufs die Tangente in D.^ der entsprechenden Halbkette in 

 derselben, diejenige in Z)j also in der entgegengesetzten Richtung sich 

 bewegen. Während diese eine volle Umdrehung macht, beschreibt jede 

 einzelne jener Halbtangenten in der entgegengesetzten Richtung einen der 

 Winkel zwischen zwei auf einander folgenden Halbstrahlen der Anfangs- 

 gruppe. Man erhält daher n-\-\ beiden entsprechend gemeinsame Halb- 

 strahlen. Von ihnen liegen zwei in demjenigen der bezeichneten /i Win- 

 kel, in welchem der der Anfangsgruppe entsprechende Halbstrahl liegt, 

 und je einer befindet sich in jedem der n — l übrigen Winkel. Bei der 

 Beziehung, aus welcher die n-\-l Halbstrahlen entstehen, werden den 

 Gruppen (/)jA)" und (DjA^)" die Strahlen DjAi und D^S. zugeordnet. 

 Die 11 -\- l gefundenen Halbstrahlen bilden daher Theile einer Gruppe der 

 Involution mit den (n + l) fachen Strahlen (0^4)"+' und (D^Ai)"-*-' (§40). 



Will man eine zweite Gruppe betrachten, so kann man das In- 

 volutionsfeld festhalten, das Punktfeld aber so verschieben, dafs Z), und 

 Z)j fest bleiben. Diese Verschiebung soll sehr gering sein, so dafs die 

 Halbtangenten aller Halbketten in Z)j in derselben Richtung um einen 

 kleinen Winkel gedreht werden. An die Stelle einer gemeinsamen treten 

 zwei einander nahe gelegene und zugeordnete Halbketten. Zwischen bei- 

 den liegt eine den neuen Gebilden gemeinsame Halbkette, die also in 

 demselben Sinne verschoben ist, wie alle Halbketten Z)^ , Dg. Die Invo- 



