rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 87 



trennte Doppelpunkte. Ist ein (?i+l)facher Punkt vorhanden, so giebt 

 es aufserdem noch n Doppelpunkte, wenn man in einem ^j fachen Punkte 

 des Feldes p — 1 Doppelpunkte vereinigt denkt. 



Nach § 52 giebt es in jeder Nähe eines mehrfachen Punktes Punkte- 

 paare, die einer und derselben Gruppe angehören. Dieselben finden sich 

 aber nur bei höchstens in (§ 55) und im zweiten Falle bei «Punkten 

 (§ 54). Diese Punkte allein sind daher die Doppel- oder mehrfachen 

 Punkte der Involution. 



Ist ylzlj/lg irgend eine Gruppe einer Involution mit (m-|- l)fachen 

 Punkte i)j, so sucht man (§ 54) zuerst die Doppelpunktsgruppe Z' der In- 

 volution AA^^D'l auf: die gesuchte Grujjpe ZZ^ gehört dann der Invo- 

 lution AA^ , A^Z' an. Enthält AA^^ einen pfachen Punkt D^, daneben 

 noch die Gruppe (ö)""^ von n — ^j Punkten, so kommt D^ (p — l)fach in Z 

 oder D^~^ (Gj)"~^ vor. Die etwa vorhandenen Doppelpunkte bilden ein 

 Glied der Involution (n — p ■+■ l) tev Ordnung!)^ (Ö)"~^, A^(G^y-''. Da nur 

 eines der zwei gegebenen Glieder D^ enthält, so kommt unter den übrigen 

 singulären Punkten D^ nicht mehr vor, welcher also p — l gewöhnliche 

 Doppelpunkte auch für die Involution («-l-l)ter Ordnung vertritt. 



Um zu zeigen, dafs / zusammen auftretende 2h^P2^ Pä^ ••• |J( fache 

 singulare Punkte Pi-i-po-\- ■ ■ • Pi — i gewöhnliche Doppelpunkte vertre- 

 ten, ersetze man AA^ durch andere nahe Gruppen 3l'5li , §l"3li', WSl^"; . . . 

 von Dl,AA^. Alsdann wird B^ durch Gruppen 33'©; , 50"©;', 33"'5Ö';' ... 

 der zur vorigen projectivischen Involution D" , Bß^ zu Gliedern der In- 

 volutionen 



Dl^\AA,A,^ ; i)rS3l'3(;42 ; Dl^\^"^ä';A,j ... 



ergänzt. Wenn nämlich Ä,® ein Glied von Dl,AA^ ist, so erhalten wir 

 33'2?i als Coincidenzgruppe der Reihen 



Dl,^l'%,B,^,... Ä A,,D,,B,,... 



Es entstehen dabei aber projectivisch zu 21' 31', Glieder der Involution 

 D^^® (§47). 



Indem man den Grenzübergang des § 54 wiederholt, kann man 

 einsehen, dafs die Doppelpunktsgruppen der so entstehenden Involutionen 

 (?iH-l)ter Ordnung alle zu einer Involution wter Ordnung (ZZ^ , Z'Z^, 

 Z" Z'l , Z'" Z'^') gehören. Mit Ausnahme einzelner bestehen dieselben also 



