rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 93 



näherunc genügend weit getrieben wird, enthalten diese je eine Ranket. ,B, , 



OOD O ' «^ 'l'l 



die A. ^D^tB. so nahe liegt, wie man nur immer will. Sie mufs mit 

 ihrer entsprechenden Halbkette B. ,A.^ in der Nähe von T)^, aber nur in 

 einem Punkte, sich schneiden, weil die Tangenten in dem Schnittpunkte 

 (§§ 39, 2 und 5) denen in D.^ nahe liegen, also verschieden von einander 

 sein müssen. Die Ranken A. ,B. eines schmalen A.^ , iJo , B. einschliefsen- 

 den Bandes schneiden das zu untersuchende Gebilde in je einem bei D^ 

 gelegenen Punkte. Dieser gehört also einem bestimmten unverzweigten 

 Theile derselben an. 



Alle Punkte ^, , 5„ gehören der Ealhkette AA^A.^ , BB^B., an. Denn 

 die Halbkette B^ , A^ , A.^ z.B. hat mit ihrer entsprechenden AA^,BB^ 

 den Pimkt ^^ nothwendig gemeinsam. Haben beide Curven in B^ die- 

 selbe Tangente, so kann man eine Zerlegung A'A.A. und B'B B, der 

 beiden Gruppen so finden, dafs B. , ^4j , A.^, eine andere Tangente in A^ 

 zeigt, als die entspi'echende besondere Kette A'A^ , B'B. , deren Halb- 

 tangente in A^ zugleich der untersuchten Curve angehört. Die besondere 

 Halbkette A' A, , B'B und alle ihr benachbarten haben die A, zunächst 

 liegenden Theile auf der durch ihre Halbtangente bestimmten Seite der 

 Kette B. , /Ij , /!,. . Die entsprechenden Halbketten B. , yl,._ liegen zum 

 Theil auf dieser, zum Theil aber auf der anderen Seite von B. , A^ , A. . 

 Die ersteren, aber nur diese, können ihre entsprechenden Gebilde in je 

 einem Punkte schneiden, dei- beliebig nahe an Aj^ heranrücken kann. A^ 

 und ebenso jeder andere Punkt A^ oder 7?„ ist daher Anfangs- oder End- 

 punkt eines Curvenbestandtheils. 



Von irgend einem Curvenpunkt D^ aus ist auf derselben ein con- 

 tinuirlicher Fortschritt nach beiden Seiten möglich. Man könnte dabei 

 zunächst einem Punkte S sich unbegrenzt nähern, ohne ihn doch je zu 

 erreichen. -S mufs aber der Curve angehören. Entsprächen die Curven 

 A'A. ,S,B'Bf^ nnd B;^,S,A. sich nicht, so würden die beiden zugehöri- 

 gen Curven je des anderen Büschels von S endlich entfernt sein, und es 

 läge daher auch in einer bestimmten Umgebung von S kein Curvenpunkt. 

 Da man also nach dem bereits Erledigten auch über einen solchen Grenz- 

 punkt fortschreiten könnte, giebt es derartige Punkte überhaupt nicht. 

 Schreiten wir von irgend einem Punkte /A, aus auf dem betreffenden Curven- 

 theil vorwärts, so müssen wir bei stetiger Bewegung entweder nach D.^ 



