94 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



zurück oder zu einem der Punkte A^ , B^ gelangen. Die Curve kann 

 daher aufser n -\- 1 Ranken, welche die Punkte A^ , B^ unter einander ver- 

 binden, nur noch geschlossene Züge enthalten. 



§ 61. Jede der n -4-1 Ranken des vorigen Satzes verbindet einen 

 der Punkte A^ mit einem Punkte B^. 



Erster Nachweis. Angenommen, es sei eine Ranke A. ,^,.^ mög- 

 lich. Irgend ein Punkt Cj der Curve bestimmt eine Gruppe der Invo- 

 lution AA^A^^BB^B^, deren andere ?^Punkte (§ 58) auch der Curve an- 

 gehören müssen. Läfst man C^ von A.^ aus auf der Ranke A^^A;^ sich 

 stetig bewegen, so müssen die übrigen ?i Punkte Cg , Cg , . . . C„ + j sich von 

 A. , Af , . . . A. aus stetig bewegen (§ 52). C^ bewegt sich von A^^ aus 

 auf der Ranke A^ , A^__ , gleich C^ . Da beide in entgegengesetzter Richtung 

 fortschreiten, so begegnen sie einander einmal und dieser Treffpunkt ist 

 in seiner Gruppe ein Doppelpunkt. Da nun die Halbkette keine singu- 

 lären Gruppen enthält, so wird die Annahme unstatthaft, es mufs also 

 jede der n + l Ranken einen der Punkte A^, A^, . . . A^_^_^ mit einem der 

 Punkte Bi,B.2, . . . jB„+j verbinden. 



§ 62. Zweiter Beweis für den Satz vom § 61. 



Wir betrachten das ganze Halbkettenbüschel Aj^A^ . . . A^_^^ , B^B^ 

 . . . ß„ + j. Es entsteht, wenn man auf eine feste Anordnung des Büschels 

 AAi,BB^ in allen mögUchen Weisen das Halbkettenbüschel ZJ, 5 -^2 ^^ be- 

 zieht, dafs in den reell-projectivischen Tangentenbüscheln die von il,Aj,-ß2 

 nach A und die von B , B^ , A.^ nach A^ führenden Strahlen einander ent- 

 sprechen. Liegen in zwei Anordnungen II„ und 11^ der Halbketten B^ , A^ 

 zwei entsprechende einander genügend nahe, so rücken je zwei andere 

 entsprechende Ketten einander so nahe, als man nur immer will (§ 2 a, 

 Zusatz 2 und § 5). Daher liegen auch die Erzeugnisse von I mit II„ und II3 

 ihrer ganzen Ausdehnung nach einander nahe. Schneidet eine Curve AA^, 

 BBy ihre entsprechende aus II„ in D^ und haben beide hier vei'schiedene 

 Tangenten, so mufs die zugehörige Curve in II,j sie nahe bei D^ schnei- 

 den. Für jede Erzeugungsweise der festen }ia]hkette AA^A.^ , BB^B.^ ^i'" 

 giebt sich eine entsprechende der zweiten ihr genäherten. Da nun jene 

 ohne Doppelpunkte ist, müssen in jedem ihrer Punkte P sich bei wenigstens 



