rein geometrischen TheoTie der algebraischen ebenen Curven. 95 



einer Erzeugungsweise die Halbketten il'^. ,P,B'B. und B ,P,A. schnei- 

 den, ohne die Tangenten gemeinsam zn haben. Folglich nähert jedem 

 Punkte einer festen Halbkette A^ . . . A^^^ , B^ . . . -ß„ + j ohne Doppelpunkt 

 sich wenigstens ein Punkt einer zweiten, wenn man einem von den .4^ 

 und 5„ verschiedenen Punkte der ersteren einen der zweiten Curve ge- 

 nügend nähert. 



Da zwei verschiedene Reihen H„ und n;^ keine gemeinsame Halb- 

 kette haben, so treffen zwei verschiedene Halbketten x4.4j/l2 , />iJ^i?2 sich 

 nur in den 4^ und B^ . Die gleicbstelligen Glieder der Reihen H ordnen 

 sich (§ 19 Beispiel) zu neuen Reihen jB2'^^2 zusammen, in deren unter sich 

 projectivischen Tangentenbüscheln in B.^ und A^ die Strahlen B^k^ und 

 .42 A einander entsprechen. In diesen Anordnungen H^ müssen die Halb- 

 ketten -ßgjila bestimmten Halbketten AA^ iBB^ zugeordnet werden, damit 

 eine fest gegebene Anordnung der Halbketten AA^A^, BB^B.j entstehe. 

 Die AA^ , A^ , BB^ zugehörige Reihe H^ ergiebt die Tangentenreihe des Bü- 

 schels ^4/4^. 43 , 55,^ i?2 in A^ und die AA^ , B,2,BBy zugesellte Reihe die- 

 jenige in /?2. Diese sind daher so jDrojectivisch, dafs die imaginären Strah- 

 len B^jk^ und .42A. einander entsprechen. Da man A^ mit jedem A^ und /?., 

 mit jedem B^ vertauschen kann, so sind die Tangentenbüschel in /4.4jJ, auf 

 die in BB^B.^ so reell-projectivisch bezogen, dafs den von ersteren nach A die 

 von letzteren nach A^ führenden Strahlen entsprechen. Jene bewegen sich 

 mithin in einer, diese in der entgegengesetzten Richtung. Die Halbtan- 

 genten der einzelnen Halbketten des Büschels erhält man aus der vorigen 

 Bestimmung unzweideutig, wenn man einen Satz zusammengehöriger kennt; 

 denn die Halbtangentenbüschel sind nach der Stetigkeit, also so auf einan- 

 der bezogen, dafs die Halbstrahlen von 2nH-2 gestreckten Winkeln in Ay,... 

 ^K+i ' -^1 ' ' • --^n + i einander entsprechen. Da die untersuchte Curve nur 

 aus getrennten Zügen besteht, so müssen von einer zweiten genügend ge- 

 näherten Halbkette AA^A.^ ,BByB.^ die einzelnen Züge den ihrigen nahe 

 liegen, jeder Ranke der ersten eine dieselben Punkte verbindende der 

 zweiten, jedem geschlossenen Zuge ein anderer. Wenn nun die Curve 

 sich stetig in ihrem Büschel von der einen zur anderen Lage verändert, 

 so durchmifst jede Ranke, sich stetig verändernd, den mondförmigen Raum 

 zwischen ihrer Anfangs- und Endlage. Dabei müssen die Tangenten in 

 den Endpunkten, wie es evident ist-'', sich nothwendig in entgegengesetz- 



