96 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



ten Richtungen drehen und es mufs also diese, wie jede andere Ranke 

 einen der Punkte A^ mit einem der Punkte B^ verbinden. 



§ 63. Eine involutorische Ebene 



A,A, . . . 4,, , B,B, ...B„,^, 6,63 . . . (5„,„ . . . 



nter Ordnung hat mit einer projectivischen Punktebene ßg , Aj , (5, , • • • 

 stets Punkte gemeinsam und zwar, wenn man von höchstens 2 n speciellen 

 Lagen des Punktes (Sg absieht, n-{-l verschiedene. Vorausgesetzt wird da- 

 bei, dafs A-^Ao . . - -A„+j und -ß^ßg • ■ • ^n + i keinen Punkt gemeinsam haben. 

 Die nach der Behauptung vorhandenen Punkte bilden eine Gruppe 

 CC-^C.2 der Involution AA.^A.2-,B B-^B^- Diese Glieder können in ihr beliebig 

 ausgewählt und daher den Festsetzungen des § 57 unterworfen werden. 

 CCiC.2 liegt auf einer bestimmten Halbkette A^A^ . . . A^_^^ , B^B^ . • . 

 B^^^. Es seien zunächst die Halbketten des Büschels ausgeschlossen, 

 welche singulare Gruppen oder die unendlich ferne Gerade enthalten. 

 A- -ßj. sei eine Ranke einer der regulären Halbketten. Die gesuchten 

 Punkte sind dann auch den beiden Feldern 



A"4^,ß^ß,, ,(5'(5i... Ä B,^A,^% 

 gemeinsam (§ 42). Jeder A''M,._ und -ß'*'i)\^ beigeordneten Kette A'A.^ O B^B^^ 

 entspricht eine 5j„ mid A^_^ beigeordnete. Zieht man durch einen beweg- 

 lichen Punkt des Zweiges A^ ,B. jederzeit die Kette A.^OB^., und sucht man 

 zweitens zu der Kette A^'^A^ O B'^''^B^ , die er bestimmt, die projectivisch zu- 

 gehörige Kette B,.^0 A^, so fallen beide nur für die gesuchten Punkte, 

 welche auf der Ranke A,.,£^ liegen, zusammen. Beide Ketten bewegen 

 sich aber stetig. Die erste kann, da die Ranke A. , B^ weder ^4,. noch B. 

 enthält, nicht auf diese zusammenschrumpfen. Die zweite aber redu- 

 cirt sich für die Anfangs- und Endlagen A. und 5^^ auf die Punkte B^_^ 

 und ^4, . Daher werden beide Ketten nothwendig einmal identisch, und 

 auf A. , B^ liegt wenigstens einer der gesuchten Punkte. Ebenfalls liegt 

 auf A. ,B^ : A. ,B. ;... A. ,B,. ie ein Punkt. Da es ihi-er aber (§ 43) 

 höchstens w-hl giebt, so findet sich genau einer auf jeder einzelnen Ranke. 

 Liegt 6.^ auf einer der ausgenommenen Halbketten B^^A^, so ziehen 

 wir eine keinen der ausgezeichneten Punkte enthaltende Halbkette /l, , 62 ' 

 und wählen auf ihr sonst beliebig den Punkt 2)3 so, dafs er keiner der 



