rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 103 



B-^ und B[ einfache Punkte ihrer Gruppen ßZ?j und B'B[ sind, ^^ und t\, 

 t.2 und ^2 (§ 39), endHch auch (§ 5) r[ und r^ einander nahe liegen. Man 

 zeigt nun mit Hülfe von § 2 a, Zusatz sehr leicht, dafs auch t!^ die Tan- 

 gente der Kette A' A[A'^ , B' B[B!y , C C[Co im Punkte A.^ bei der Tan- 

 gente To gelegen ist. 



Ein Specialfall des Satzes entsteht, wenn man zwei Punkte A!^ , A.-, 

 einander nähert und beide durch Ketten mit den beiden festen Gruppen 

 BByB.2, CC^Cq^ mittels Ketten der durch sie bestimmten involutorischen 

 Ebene verbindet. Ihre Tangenten in A'^ und A^ liegen einander nahe, 

 wenn A^ nicht ein singulärer Punkt der Involutionsebene ist. Man braucht 

 nur B^B.^B' und C[C^C' mit B^B^B und C^G.^C zusammenfallen zu las- 

 sen, um zu diesem Resultat zu gelangen. 



Nunmehr sind alle Sätze des zweiten Abschnittes von n auf n-\-\ 

 übertragen und daher als unbedingt gültig erwiesen. Wo wir bei ihrer 

 Aufstellung eine Unbestimmtheit festhielten, kann jetzt eine apodictische 

 Form gebraucht werden. So steht jetzt fest, dafs eine Involution ?^ter 

 Ordnung im Allgemeinen 2(?j — l) Doppelpunkte hat, und dafs die An- 

 zahl der singulären Gruppen nur dann kleiner als 2(ii — l) ist, wenn sich 

 Gruppen mit mehrfachen Punkten nachweisen lassen. 



Vierter Abschnitt. 

 Neue Folge von Lehrsätzen über Involutionen. §§ 71 — 76. 



§ 71. Sind auf demselben Ti-äger drei nicht derselben Involution 

 angehörige Gruppen U, V, W zu «Punkten gegeben und sind U^,V^ belie- 

 bige Gruppen der Involutionen V, W und U, W, so haben die beiden Invo- 

 lutionen Ui , Fj und U , V eine Gruppe TF^ gemeinsam. Wird f/j festge- 

 halten, so ändern sich F^ und TF^ projectivisch zu einander. 



Die beiden Reihen 



f7i,F,TF,... Ä F,,f/,IF, ... 



haben (§ 32) eine Gruppe TFIF^ von 2?iPunkten gemeinsam. Sie gehört 

 den Involutionen UW, FTFund U^W, V^W gleichzeitig an; daher (§ 33, 2) 

 ist TFj den Involutionen U^,V-^^ und f/, F gemeinsam. Ändert man U^ 



