106 E. K ö T T E li : Grundzüge einer 



Durch die beiden Involutionen 



wird eine Schaar von projectivischen Involutionen definirt. Eine dritte 

 Involution derselben geht von dem mit U und M, C/^ nach der Voraus- 

 setzung involutorisch liegenden Gliede il/j U^ aus. Da nun W und M, W^ 

 ein Element A.^ von M^ gemeinsam haben, so ist dasselbe allen Gruppen 

 der von M^ U,, ausgehenden Involution der Schaar gemeinsam. Von der 

 Involution V,M.^V^ bestimmt aber A.^ das Glied M^V,. Mithin gehört 

 irgend zwei Gliedern Z und AI^ Z^ eine Gruppe zu , die neben M^ ein 

 Glied 3, von £^, , F, enthält. 



Die so entstehenden drei projectivischen Reihen 



3) J/, U^ , i¥, F, , üf, TFi , üi, Zj , . . . Ä M, f/, , M, F, , 1/, 2b\ , 3fi3x , • • • 



Ä U,V,W,Z,... 



haben mithin dieselbe Gruppe J von 2 (m -1- «) Punkte gemeinsam. Der 

 dritten und zweiten Reihe ist aber augenscheinlich M^^ der ersten und 

 dritten M^ gemeinsam. Daneben enthält J noch eine unveränderliche 

 Gruppe K von 2n Elementen. Dieselbe ist, wie auch A gewählt wird, 

 den projectivischen Involutionen U^V^W^Z^... und f7x ^x äß;^ 3x • • • ge- 

 meinsam. Also (§ 73) gehören alle diese Involutionen einer und der- 

 selben Schaar an; H mufs dann auch die gemeinsame Coincidenzgruppe 

 ihrer Leitinvolutionen 



4) U,U,U.^...U,, V, V, Fg . . . F, , IFjSß^iBg . . . 2ßx , Z,^,^, . . . 3x 



sein. Mithin fällt H mit G, 2ß;^ mit IF> , Z, mit 3x zusammen. 

 Z ist nun (§ 33, S) das Erzeugnifs der Reihen 

 M^M.^M^... Ä Z^Z.Z^... , 

 weil sie gleichzeitig als Gruppe den Involutionen 



M^Z.2 , M.^Z^ ; iT/^Zg , l/g^i : M^Z, , M, Z^-.... 

 angehört. Da noch die Beziehung 



UV WZ... Ä U,V,W,,Z,... 



obwaltet, so ist der Lehrsatz erwiesen. Mit jeder Leitinvolution hat 

 UV WZ... aufser der Gruppe G noch das ihr zugehörige Glied der 

 Reihe M^M^M^ . . . gemeinsam. 



