o-ein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 107 



§ 75. Sollen alle Gruppen einer Involution ?iter Ordnung G^H^ , 

 G.2 //, , ohne dafs ihnen Elemente gemeinsam sind , Gruppen einer Invo- 

 lution G^ , G.2 niederer, mter Ordnung umfassen, so mufs ihre Ordnungs- 

 zahl ein Vielfaches rm von m sein. Ihre Glieder setzen sich aus je 

 r Gruppen der genannten Involution zusammen, denen in einem auf die 

 Involution mter Ordnung projectivisch bezogenen, einförmigen Gebilde je 

 eine Gruppe einer Involution ?'ter Ordnung entspricht. 



Der Satz wird für Zahlen, die kleiner als n sind, vorausgesetzt. 

 Die Grujjpen der Involution ergeben sich als Coincidenzgruppen der Reihen 



-ff 1 , Ä, ' • • • Ä G.2,G^, . . . 

 Irgend eine dritte Gruppe G^ kann einer Involutionsgruppe von H^G^ , 

 H.2G0 nur dann angehören, wenn sie zugleich in einer Gruppe «Spg der 

 Involution H-^^H^ vorkommt. Daher kann n — m nicht kleiner als m 

 sein. Sind n — m und m einander gleich, so dürfen sich die Involutionen 

 H^,H.2 und 0^,0.2 nur durch die Anordnung unterscheiden. Bezieht man 

 die Involution auf ein einförmiges Gebilde projectivisch, so erhält man 

 aus Hj^Ho^^^ . . ■ eine feste Reihe A.^^A^(^l^ • • • , Jii^if welche alle möglichen 

 Anordnungen B.^B^^d^ . . . bezogen werden. Sie haben ein Paar der In- 

 volution A^ß^ , A.2B.2 gemeinsam, welches sich prospectivisch mit (5^ än- 

 dert. Zu diesen Paaren hat man die entsprechenden Gruppenpaare der 

 Involution G^ , G.^ aufzusuchen, um die untersuchte Involution zu erhal- 

 ten. Allgemein mufs n — m ein Vielfaches (r — l)m von m sein. H.^,H^, 

 tf'ig, . . . bestehen aus je r — 1 Gruppen. 



g; , G';, . . . G^{-'^ ; g; , <?;', . . . &^-'^ ; (?^ , g;, . . . (?!;-'> 



der Involution Gy , G.^. In dem einförmigen Gebilde entspricht der In- 

 volution (?• — •l)mter Ordnung die Involution (?' — l)ter Ordnung 



AiA'; . . . A^r' , a;a2 . . . 4--> , ^3^13 . . . 4-^ . . . 



Sie hat mit den verschiedenen Reihen 



4 A ^i[ 



^1.2 , riy , vlj . . . 



Gruppen der Involution AyA[ . . . .4'^''''' , A.^A^ . . . A^'"*' gemeinsam. Die 

 so entstehende Gruppe mufs sich projectivisch zu dem A^A'^ . . . A^'"^^ ent- 

 sprechenden Gliede 5(^ verändern, also auch projectivisch zu der G^G'^ 

 . . . Ö3~" zugeordneten veränderlichen Gruppe ©3 und endlich zu der 



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