rein geometrischen Theorie der algehraiscJien ebenen Curven. 113 



jUgter, . . . )u^.tei' Stufe, die alle in einem Netze />iter Stufe enthalten sind, 

 haben ein Netz wenigstens (wj + f/g + • • • C^it — ^■/■^)ter Stufe gemeinsam. 



Die Gruppen Ul^^, U^^^ mögen mit U-^ und zwei behebigen Grup- 

 pen f/„+2 ' ^«+3 ^^^ Netzes U.^U^ . ■ ■ 6^„ + j zu Involutionen gehören. Jede 

 Gruppe von U\^.,, U'^^^ liegt (§§ 77) mit einer von 1/^+^ ■> ^«+3 ii^volu- 

 torisch zu f/^ und gehört mithin zum Netze. ?7^+2 , ^^+3 und U^_^_^ , U^+^ 

 haben eine Gruppe gemeinsam. Jede aus Gruppen des jufachen Netzes 

 zu bildende Mannigfaltigkeit gehört demselben ganz an. Das Netz kann 

 auch mit Hülfe einer beliebigen Gruppe Fj desselben und des Netzes 

 (jj. — l)ter Stufe U^U^ . . . U^^^ bestimmt w^erden, da jede Involution F^, U' 

 das Netz trifft. 



Es möge irgend ein Netz ater Stufe aus den a-\-i Gruppen V^, 

 ^21 • • ■ ^f+i entstehen und V^ aufserhalb U^^U^ . . . U^^^ liegen. Auf letz- 

 terem werden durch V-^,V^;V^,V^; . . .V^,V^^^ die a Gruppen TF3 , ITg , . . . 

 ^V^+^ eines Netzes (« — l)ter Stufe bestimmt, das also den Netzen V^V^ 

 • • • F„^j und U^U^ ... U^_^,^ gemeinsam ist. 



Irgend ein Netz ^^2 ^3 • • • ^» + 1 C*^ — l)ter Stufe und eine Gruppe l\ 

 aufserhalb desselben, die beide in dem Netze |U ter Stufe enthalten sind, 

 sind zur Herstellung desselben nothwendig und hinreichend. Jedenfalls 

 haben Fj ,V^ und FgFg . . . F„_^, mit U^U^. . .U^+^ eine Gruppe W^ und 

 ein Netz (jj. — 2) ter Stufe TFg . . . W^^^ gemeinsam. Jede Involution W^ , U 

 von U.^U^ ... f/„^^ trifft W^ • • • ^^,. + 1 in W, und daher V^,U die Involu- 

 tion Fg , TT von V.^V^... F^^^ in F. Beide Bestimmungen, aus Fj und 

 Uoüg . . . f^„+i und aus V^ und Fg Fg . . . F^^^, sind also vollkommen 

 gleichbedeutend. Ein Netz (w— i)ter Stufe hat daher mit jedem einzel- 

 nen «ter Stufe ein Netz (a — i)facher Mannigfaltigkeit gemeinsam. 



Ein beliebiges Netz /3ter Stufe kann man als Theil eines Netzes 

 (ß — l)ter Stufe ansehen. Wenn zwei Netze /3ter und (a — l)ter Stufe, die 

 in einem Netze (w- — ^i)ter Stufe liegen, wenigstens ein Netz (/S-l-a — fx)- 

 ter oder (/3 -+- a — 1 — )i/-l-l)ter Stufe gemeinsam haben, falls ß -{- a — 1 

 nicht kleiner als f/i — 1 ist, und keine Gruppe gemeinsam zu haben brauchen, 

 wenn ß -ir a — i kleiner als /^ — 1 ist, so ist ein Netz mindestens der Stufe 

 ß -\- a — 1^ auch zwei Netzen /3ter und ater Stufe gemeinsam, wenn beide 

 einem dritten |uter Stufe angehören. Weil nun bereits gezeigt ist, dafs ein 

 Netz (^ — l)ter Stufe und eine Involution wenigstens eine Gruppe gemeinsam 

 Math. Abh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1887. I. 15 



