114 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



haben, wenn sie demselben Netze ^ter Stufe angehören, so folgt dei* auf- 

 gestellte Satz durch einen Schlufs von iu — i auf |W. Durch ^malige An- 

 wendung des Satzes folgt, dafs Z; Netzen der Stufen ju^ , jUg , . . . Mj. ein an- 

 dei'es wenigstens der Stufe m^_^j ^ jw^ -{- jUg H- . . . ßf. — u\j£ — l) ge- 

 meinsam ist. Setzt man z. B. 



P-l = l^-2'= ■ ■ ■ y-k^ ,^—1 ; k = /^, SO folgt /^„^j = 0, 



nnd daher haben irgend m in demselben Netze Mter Stufe enthaltene 

 (u — l) fache Mannigfaltigkeiten stets wenigstens eine Gruppe mit einan- 

 der gemein'-'*. 



§82«. Alle afachen Netze, welche dasselbe Netz V^V.^ . . . F„ 

 gemeinsam haben, gehören zu einem Netzbündel (jjl — a)ter Stufe. Jede 

 (iu — 2)fache Mannigfaltigkeit Fj Fg . . . F„_j in U-^ü^ . . . ^„ + , bestimmt ins- 

 besondere ein Büschel von Netzen Qj. — l)ter Stufe. F^ Fj . . . F„ resp. 

 V^V,^ ... F„_j heifst der Träger des Bündels beziehlich des Büschels. 



ß. Zwei Netze V^V^ . . . F^^^ und U^U^ . . . U„^^ »ter Ordnung 

 und «ter resp. /3ter Stufe, die einem Träger angehören und keine Gruppe 

 gemeinsam haben, bestimmen ein Netz iV (a-h /3 + i)ter Stufe, dem sie 

 selbst und die Netzbündel angehören, welche je das eine mit den Grup- 

 pen des anderen verbinden. Irgend eine aufserhalb der gegebenen Netze 

 in N liegende Gruppe kann nur durch eine Involution mit zwei Gruppen 

 derselben verbunden werden. 



mNetze a^ter, ctc^tQv, . . . «„,ter Stufe bestimmen ein Netz höchstens 

 («j H- . . . a^^^-\-m — -l)ter Stufe, dem sie alle gleichzeitig angehören. 



Die adß bezeichneten Gebilde gehören sicher dem durch die Grup- 

 pen 1/^,17.,, ...U,^^; Fj , Fg , Fg, . . . Fg^j bestimmten Netz an (§ 81). Wäre 

 nun dieses von geringerer als der (« + /3 + i) Stufe, so hätten die ge- 

 gebenen Netze der Voraussetzung zuwider eine Gruppe mit einander ge- 

 mein. Irgend eine Gruppe TF bestimmt mit dem ersteren Netze ein sol- 

 ches U^U.T . . . U„^JV {et -I- i)ter Stufe. Demselben gehört sicher jede In- 

 volution U , V an, welche TF mit zwei Gruppen ü und F der gegebenen 

 Netze verbindet. U^U.^ . . . U.^^W und V^V., . . .V^^^ haben nach § 81 

 wenigstens eine Gruppe F gemeinsam und nur diese, da eine beiden ge- 

 meinsame Involution, als gelegen in U-^U^ • ■ ■ U^^^W^ U^U^ . . . ü„^^ 



