132 E. Kötter: Grundzüge einer 



Von einer etwa vorhandenen unveränderlichen Gruppe sehen wir 

 ab. Ferner brauchen wir uns nur mit der nicht entarteten Invohition 

 zu befassen (§ 34b). Ein beliebiges ?jfaches Element D" werde ange- 

 nommen, und für jede Gruppe des Netzes U.^U.2U^U^, in dem die In- 

 volution liegt, die Gruppe f^^ , C/'ö , f/'g , ^/^ , . . . der mehrfachen Elemente 

 aufgesucht. Die einer Involution des Netzes zugehörenden Gruppen bil- 

 den eine zu dieser projectivische Involution (n — l)ter Ordnung (§ 76), 

 alle Gruppen überhaupt also ein zu dem gegebenen collineares Netz 

 (;; — l)ter Ordnung. Nur wenn D" dem Netze angehört, entspricht den 

 von ihm ausgehenden Involutionen je nur eine Gruppe mehrfacher Punkte. 

 Das zweite Netz reducirt sich in diesem Fall auf ein Netz erster Stufe. 



Falls in ihm noch (n — l) fache Elemente vorkommen, giebt es in dem 

 Involutionsnetz noch andere «fache Elemente aufser D". Solcher Elemente 

 aber giebt es (§48) höchstens zwei, falls n — 1^2 ist, jedoch unendlich 

 viele, wenn n — 1 = 1, also « =: 2 ist. Da sonach in einem Netz von 

 einer Ordnungszahl n, die höher als 2 ist, höchstens 3 «fache Elemente 

 auftreten, können wir ein solches aufserhalb des Netzes wählen. An 

 die Stelle der Involution U^ U^ U^U^U^ ... zweiten Ranges tritt dann die 

 projectivische U^^Ü^Ü'^U'^ül .... Enthält eine Gruppe der ersteren ein 

 jjfaches Element, so ist es ein Qj — l)faches Element in der entsprechen- 

 den Gruppe (§ 56) und daher sind überhaupt alle mehrfachen Elemente 

 entsprechenden Gruppen der beiden Reihen gemeinsam. Unendlich viele 

 solche Gruppen können mithin (§ 95) nur auftreten, wenn beide Involutio- 

 nen eine zu ihnen projectivische Involution ersten Ranges TFj TF, TFg W^ W-^ 

 gemein haben. Nur einzelne dieser Gruppen können (§ 34b) mehrfache 

 Elemente zeigen. Alle übrigen kommen nach der Bedeutung von U[U'2 

 U'^U[ . . . sicher doppelt in U-^ C/g C^g C/4 . . . vor. Deshalb ist die unter- 

 suchte Involution zweiten Ranges von gerader Ordnungszahl und von der 

 Form W^ W^ ; W.-^ W.^ ;W^W^;W^W^;... Die Gruppen von ü[ mU^.., 

 setzen sich aus denen von W^ W^ W^ . . . und den homologen einer an- 

 deren projectivischen Involution ersten Ranges W[ W^ W'^ . . . zusammen. 



Im Falle n = 2 nehmen wir das zweifache Element D'^ auf der 

 Involution zweiten Ranges an. Ihre Gruppen lj\ , U.^ , U^ , U^ . . . werden 

 durch ein projectivisches Involutionsbüschel D-(JJ^ U^ U^U^ . . .) projicirt. 

 Die zweiten Doppelpunkte aller dieser Involutionen bilden eine zu U^ U.2 



