rein geometrischen Theorie der alcjehraischen ebenen Cin'ven. 133 



U^U^ . . . projectivische Piinktreihe. Von hier aus aber können wir wie 

 vorher weiter schUefsen. 



§ 97. Durch ein beliebiges Element des Trägers einer Involution 

 zweiten Ranges gehen im Allgemeinen zwei verschiedene Gruppen der 

 Involution zweiten Ranges. Die Elemente des Trägers, durch welche 

 nur eine Gruppe geht, können nur dann in unendlicher Anzahl auftreten, 

 wenn die Involution von der besonderen Gestalt X^^X^ ^ X^X.^ , X^X^ , 

 X^X^, .. . ist, wo XiX.2XoX^ . . . eine Involution ersten Ranges ist. 



Die gesuchten Elemente gehören allen Gruppen der Tangenten- 

 involutionen an, welche in den sie enthaltenden Gruppen der Involution 

 zweiten Ranges stattfinden. Statt dessen richten wir die Frage nach den 

 Elementen, die zwei benachbarten Gruppen der Involution zugleich an- 

 gehören, und zwar entsprechenden Gruppen der beiden projectivischen 

 Reihen ABU-^^U^U^ ... und ABV^ V^V^ ■ • • ■> die auf der Involution an- 

 genommen werden; wenn V^ bei f/^ liegt, so rücken Fg , Fg , . . . an U.^ , 

 f/g , . . . heran, und die Involutionen U^ ,V^ ; U,^ ,V.2 ; U^ ,V^ ; U, , V^ ; . . . 

 gehen in die Tangenteninvolutionen in den Gruppen U^ , U.^, U^ , U,^ . . . 

 über. Nun haben aber die Reihen ABU^ TJ^U^. . . und ABV^V.^ Fg . . . , 

 da sie nicht wesentlich identisch sein können, nur dann unendlich viele 

 Elemente gemeinsam, w^enn sie eine zu beiden projectivische Involution 

 ersten Ranges W^ W^ IFj . . . aufhalten. Daneben enthält jede von ihnen 

 noch eine andere projectivische Reihe IFj IFg IFg . . . resp. W'^W'^W^ . . . 

 Je näher nun U^U^U^ . . . bei F^ Fj Fg ... liegt, desto näher liegen auch 

 die drei projectivischen Reihen W[ IF^ TFg . . . , W^ IF^IFg . . . , IF^' IF^' IFg . . . 

 bei einander, da nämlich 



TFj tf; , 1F2 w:, , PFg TF^, ... A w; w; , W.^ IF2 , IF3 IF3, . . . 



ist. Daher mufs an der Grenze die Reihe in eine doppelt zählende In- 

 volution ersten Ranges übergehen, wenn keine unveränderliche Gruppe 

 allen Gliedern angehört. 



§98. Zwei projectivische Involutionen U-^U^U^ ... A F^FgFg... 

 zweiten Ranges desselben Trägers und der Ordnungen m und ?i, die nicht 

 eine zu beiden projectivische dritte Involution ersten oder zweiten Ranges 



