rein geometrischen Theorie der algehraischen ebenen Curven. 155 



in keiner dieser drei Gruppen sich findet. Unter solchen Umständen hat 

 das einförmige Gebilde drei Gruppen von m + w Punkten mit den drei 

 Involutionen iuten Ranges gemeinsam, und drei so zusammengehörige 

 Gruppen U, V, W gehören derselben Involution an. ß, kann noch in 

 der Ui und V^ zugehörigen Gruppe W^ gewählt werden. Wird die zur 

 Herstellung von U^U^U^ . . . und V^V.^V.^ . . . etwa nöthige Methode der 

 Entartung geändert, so bleiben (§ 110) die Gruppen U und T, mithin 

 auch Tr, da ihm B^ angehört, ungeändert. Träte nun an die Stelle von 

 T-Tj Fo TF3 . . . etwa W^ W'^ W^. . . , so fallen doch W, und W, zusam- 

 men, da sie B^ gemeinsam haben und der Involution f/^, , ^ angehören. 

 Weil nun B^ ein beliebiges Element des Trägers der Involution war, so 

 sind beide Involutionen \W'\ und [TF'] identisch. 



Sind nun U-^^U^U^, ■ • ■ und V^V.^V^ . . . projectivische Involutionen 

 von derselben Ordnung mit den Rangzahlen ju — a. und \j. — ß, und ist 

 W^ W2 IF3 . . . eine projectivische Involution |uten Ranges aus einer Schaar, 

 deren Involutionen mit ersterer die Gruppen U^, U^-,- ■• Uß, mit letzterer 

 aber die Gruppen F^^^, F^^^ , . . . Fß^„ gemeinsam haben, so besteht, wie 

 im § 109 gezeigt ist, ein Glied der Schaar aus U^U^U^ . . . , und es wer- 

 den die Glieder ganz unbestimmt, welche F^^j, F^^^, . . . F^^^ zugehören. 

 Ein anderes Glied der Schaar aber besteht aus F^ Fg Fg . . . , und in ihr 

 werden die Glieder ganz unbestimmt, welche U^ , U.21 . . ■ U^ zugehören. 

 Versteht man unter U, V, W die Coincidenzgruppen zwischen B^B^B^. . . 

 und den drei genannten Reihen, also Gruppen zu m-\-ix — a , m -t- f/i — ß 

 und m -h M Punkten , so gehört TF der Involution B^^^B^^^ . . . Bi,_^_^U , 

 B^B.2B^ ... B^V an. Daraus folgt, wie vorher, dafs TF^ W^^ TF3 . . . TF,^3 

 durch U^U^U^ . . . U^_„^^ . . . und Fj Fg Fg . . . F„_g^3 eindeutig be- 

 stimmt ist. 



§ 1 12. Sind Uy C/o ^3 ^4 • • • ^"if^ ^\ ^^2 ^3 ^4 • • • ^"^'^ßi projectivische 

 Involutionen desselben Trägers der Ordnungen m und n und der Rang- 

 zahlen \x und y, so giebt es eine Involution f/^ Fj , ^/g F, , U^, Fg , f/4 F^ , . . . 

 der Ordnung m + ?i und des Ranges \j.-\~v, deren Glieder aus je zwei 

 entsprechenden der vorigen Reihen sich zusammensetzen. 



Der Satz ist bewiesen, wenn jw und v beide gleich 1 sind (§ 94). 

 Sobald daher von /a , v — 1 auf />t , v geschlossen wei'den kann (v ^ |u), gilt 



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