156 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



derselbe allgemein. Zu diesem Zwecke legen wir eine beliebige zu den 

 gegebenen jn'ojectivische Involution ntQv Ordnung und {y — i)ten Ranges 

 Fj Fg Tg F^ . . . , die mit der zweiten gegebenen Involution Fj entsprechend 

 gemein hat. Wir können sie mit F^ V^V^V^ . . . oder [ V] zu einer Schaar 

 rechnen, deren Glieder mit letzterer aufser Fj das Glied F, gemeinsam 

 haben. In dieser Schaar giebt es noch eine zweite Involution (y — i)ten 

 Ranges F^' Fg F3 F^' ... , welche mit [F] wohl Fg, aber nicht V^ ge- 

 meinsam hat. Nach der gemachten Annahme sind 



1) ü,v,,u,v;,u,v;,u,vi,... und u,v';,u,v,,u,v';,u,v';,... 



zwei zu einander projectivische Involutionen (jn-j-n) Ordnung, (iji--\-v — 1)- 

 ten Ranges. Nach § 109 kann man eine und nach § 111 nur eine Schaar 

 von Involutionen (m -\- n)ter Ordnung und (f/ -}- i')ten Ranges bilden, die 

 sämmtlich unter einander projectivisch sind, und die alle mit ersterer die 

 Gruppe f/j Fj , mit letzterer die Gruppe U.^ V.^ entsprechend gemein haben. 

 Sind M' ,M",M die Coincidenzgruppen der Reihen 1) und eines beliebi- 

 gen durch U^ Fg bestimmten Gliedes der Schaar mit irgend einem zu ihnen 

 projectivischen einförmigen Gebilde B^B^B^B^. . . so gehören (§ 111) B.2M', 

 B^M" und M zu derselben Involution ersten Ranges und der Ordnung 

 m H- n H- 1^^ -h v. Nun liegen aber in M' , M" und folglich auch in M 

 die m -{- 1^ Elemente, welche U-^U^U^ . . . mit B^B^B^ . . . gemeinsam sind; 

 sie enthalten aufserdem die Gruppen JSgiV^' ,i?iiV" und iV einer Involution 

 (i'-J-n)ter Ordnung. N",N' sind dabei die Coincidenzgruppen zwischen 

 V; V^Vl V;... und B^B.^B^B^ ..., resp. zwischen F^ V; V; V^ und B^B.^B^ 

 B^ . . . Wenn man daher B^ in dem Gliede Fg wählt, so ist N die Coin- 

 cidenzgruppe zwischen F^FgFgF^... und B^B^B^ (§ 111). Da hierin 

 Bj^ und B.2 noch ganz beliebig gewählt werden können, so folgt, dafs 

 dem durch U^V^ bestimmten Gliede, der Schaar 1), auch alle Glieder 

 C/j Fj , C/g Fg , f/g Fg, . . . C7^„^3 F^^g . . . angehören. Denn wenn man B, mit 

 einem Elemente von V^ zusammenfallen läfst, so kommt es in dem be- 

 züglichen durch i?3 bestimmten Gliede der Involution B.^N' , B^N" vor; 

 daher ist U,^ V^ ein Glied der Involution, und zwar das U,^ entsprechende. 



§ 113. Zwei projectivische Involutionen mter Ordnung, )uten Ran- 

 ges und wter Ordnung, eten Ranges haben nur dann unendlich viele Punkte 

 mit einander gemeinsam, wenn sich beide von einer dritten projectivischen 



