158 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



setzen, dafs X'^X'^X'^X'^ . . . eine zu Z^^Z.^ZoZ^ . . . projectlvische Involution 

 (m — r)ter Ordnung, (^i — ^ — l)ten Ranges ist. Von hier aus kann man 

 aber ganz so, wie es im § 112 geschehen ist, schUefsen, dafs auch X^X.^ 

 X^X^ . . . eine zu Z^^Z^Z^Z^ . . . projectivische Involution ist, und zwar 

 von der (?n — r)ten Ordnung und dem Qx — ^)ten Range. Analog hat 

 ^1 ^2 ^3 ^4 • • • die Form Z^ Y^ , Z,J^^ , Z^Y^ , Z^Y^ . . . , und es ist Y, Y, 

 Y^Y^ . . . eine zu Z^Z^Z^Z^ . . . projectivische Involution (n — r)ter Ord- 

 nung und (v — ^)ten Ranges. 



§ 114. Sollen unendlich viele Gruppen einer Involution ??iter Ord- 

 nung und juten Ranges mehrfache Elemente umfassen, so mufs jedes Glied 

 entweder dieselbe Gi-uppe mit mehrfachen Elementen oder die entspre- 

 chende Gruppe einer Involution niedrigerer Ordnung und niedrigeren Ran- 

 ges mehrfach enthalten. 



Es sei zuerst m gröfser als ju, die Involution aber gelagert in einem 

 Netze vter Stufe. Ist nun D'" ein beliebiges mfaches Element des Ti"ä- 

 gers (a), so suche man für jede Gruppe U^ die Doppelpunktsgrupjje der 

 Involution D'" , f/^ auf. Dieselben bilden eine projectivische Involution 

 (in — l)ter Ordnung, wenn f/^ eine solche im gegebenen Netze durch- 

 läuft (§ 76). Dem ganzen Netze entspricht ein collineares ihrer Doppel- 

 punktsgi-uppen, falls nicht etwa D'" in dem ersteren sich vorfindet. Als- 

 dann erhält man nur eine Doppelpunktsgruppe für jede von D'" ausge- 

 hende Involution, im Ganzen also nur ein Netz (i' — l)ter Stufe und 

 (m — l)ter Ordnung. Einem weiteren in dem ersten Netze enthaltenen 

 ?nfachen Elemente entspricht ein (m — l)faches in dem Netze der Dop- 

 pelpunktsgruppen. Wird vorausgesetzt, dafs sich in einem Netz (m — l)- 

 ter Ordnung und (v — l)ter Stufe höchstens v — i (m — i)fache Elemente 

 befinden, wenn m — l gröfser als v — i ist, so folgt von selbst, dafs in 

 einem vfachen Netze mter Ordnung höchstens v ?n fache Elemente liegen, 

 wenn in gröfser als v ist. Das letztere Resultat ist also durch einen 

 Schlufs von V — 1 auf v erwiesen. Daher kann in diesem Falle Z)'" 

 aufserhalb des Netzes angenommen werden, und es entspricht dem i» fa- 

 chen Netze ein vfaches der Doppelpunktsgruppen. Auf das ganze Netz 

 Mter Stufe, in welchem der Zeiger der gegebenen Involution sich befindet, 

 beziehen wir collinear ein zweites so, dafs dem eigentlichen Träger der 



