rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Ciirven. 159 



Involution das Netz der Doppelpunktsgruppen entspricht. Dem Zeiger 

 entspricht dann ein projectivischer in dem neuen Netze, und der alten 

 entai'teten Involution eine solche [U'] mit dem neuen Zeiger, die in dem 

 Netze der Doppelpunktsgruppen liegt. Sie ist zwar noch vom Range iu, 

 aber nur noch von der Ordnung rn — 1. Wenn keine unveränderlichen 

 Elemente den Gruppen der gegebenen Involution gemeinsam sind, müssen 

 beide von einander wesentlich verschieden sein. Zwei entsprechende Grup- 

 pen der Involutionen haben nur dann gemeinsame Elemente, wenn in der- 

 jenigen der gegebenen Involution mehrfache Elemente sich vorfinden, und 

 zwar ist ein piaches Element einer Gruppe U^ ein (p — l)faches ihrer 

 entsprechenden. Unendlich viele Gruppen mit mehrfachen Elementen kön- 

 nen daher nur vorkommen, wenn beide Gebilde in Involutionen niedri- 

 geren Ranges zerfallen. Für die einzelnen Bestandtheile ist aber der 

 Satz, welchen wir beweisen wollen, vorauszusetzen. Es enthält mithin 

 jede einzelne Theilinvolution [F],[TF],[2'], . . . nur eine endliche Anzahl 

 singulärer Gruppen. In der untersuchten Involution müssen also einzelne 

 Theilinvolutionen mehrfach auftreten; ihre Gruppe U-^ ist von der Form 

 F"IF" . . . Z'i, wo F, , W^ , . . . Z^ homologe Gruppen projectivischer In- 

 volutionen [F] , [TF] , . . . [^] sind. Die entsprechende Gruppe der In- 

 volution [U'] ist von der Form ZF»"' TFr' • • ■ ZrK 



Falls nun m nicht gröfser als iu, jedoch gröfser als v ist, hat man 

 in dem noch v fachen Netze der Doppelpunktsgruppen zuerst alle Gruppen 

 um 5+1 unveränderliche Elemente zu vermehren , wenn die gegebene 

 Involution bei der Ausartung mit s unverändei-lichen Punkten (s-i-m = iJi.) 

 erschien. (Vergl. § 106). Man bezieht nun, wie vorher, zwei Netze /^ter 

 Stufe und iJ.ter Ordnung so coUinear, dafs die beiden genannten i' fachen 

 Netze einander entsprechen. Dann entsprechen zwei entartete Involutio- 

 nen juter Ordnung und iJ.ten Ranges mit projectivischen Zeigern einan- 

 der. "Während aber von der letzteren Involution sich 5+1 unveränder- 

 liche Elemente ablösen lassen, lösen von der gegebenen sich 5 Punkte ab. 

 Da beide Involutionen somit nicht wesentlich identisch sein können, so 

 kann man, wie oben, weiter schliefsen. Wenn endlich m gleich v ist 

 (bei allgemeinen Involutionen gleich |u), so liegt Z)"' in dem v fachen Netz 

 und man erhält nur ein (v — l)faches Netz der Doppelpunktsgruppen, das 

 man collinear auf ein beliebiges aufsei'halb Z)'" oder D" gelegenes (y — l)- 



