162 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



U^U^. . . ~K V^ V.J. Fg V^ . . .). Von den beiden entsprechenden Gruppen U^ 

 und Fj kann vorausgesetzt werden, dafs sie kein Element mit einander ge- 

 meinsam haben, aus je m resp. n yerschiedenen Elementen bestehen, von 

 denen überdies jedes zu jj. resp. i/ verschiedenen Gruppen (§§ 114 und 115) 

 gehört. Es sei nun U^ W^ W^ W^ . . . eine zu den gegebenen projectivische 

 Involution mter Ordnung (iw — i')ten Ranges, so betrachten wir die pro- 

 jectivischen Involutionen (?n-|-n)ter Ordnung /^-ten Ranges (§ 112) 



In der durch beide bestimmten Schaar giebt es eine Involution (?n + n)- 

 ter Ordnung, Qj. — l)ten Ranges Z^Z.yZ^Z^..., welche alle aufserhalb 

 U^ V^ gelegenen Coincidenzstellen der Reihen 1) mit beiden gemeinsam 

 hat. Mit V^ Fg Fg . . . hat sie daher aufser ihren Coincidenzstellen mit 

 U^U^Ug ■ ■ • alle die Stellen gemeinsam , die ihr Element in V^ haben, 

 ohne dieser Gruppe anzugehören. Jedes Element von F^ gehört aber 

 noch zu (i' — l) anderen Stellen. Wenn wir daher den Satz für die Zah- 

 len fJi — 1 und V voraussetzen, wie er für /:/ = v = 2 gilt, so haben die 

 beiden gegebenen Involutionen 



(m-\-n)v -h nQj. — l) — n(v — l) = 'mv-}-niJ. 

 gemeinsame Stellen. Da somit von /v. — i ,v auf ij. , v geschlossen werden 

 kann, so ist der Satz allgemein bewiesen. Die Formel rechtfertigt sich 

 auch für zerfallende Involutionen. 



In dem entsprechenden Beweise für ij. = '2 , v^2 haben wir in Rück- 

 sicht auf spätere Anwendungen ein complicirteres Verfahren angewendet. 



§ 117. Es seien zwei projectivische Schaaren 



[U][V][W][Z] . . . Ä [U'][V'][W'][Z'] . . . 

 projectivischer Involutionen mter Ordnung und f-iten Ranges gegeben. 

 Man kann unendlich viele zu jenen projectivische Schaaren 



[U"][V"][W"][Z"] . . . Ä [U"'][V"'][W"'][Z"'] . . . Ä ... Ä 



[U^'^][V^'>][W^'^][Z^'-^] ... 



aus Involutionen mter Ordnung und iuten Ranges, die zu jenen projecti- 



visch sind, so bilden, dafs je die entsprechenden Involutionen zu Schaaren 



[ U] m [ U"] ...[ W'^] J[V][ V'l V"] ...[ r'-^] Ä [ TF][ W'l W"] ...[ TF(^'] Ä • • • 



