168 E. Kutter: Grundzüge einer 



entsprechende Strahlen sich treffen, so müssen beide Centren P und Q 

 auf B^B^ liegen. Liegt P auf dem Strahle a , Q aufserhalb desselben, so 

 entsprechen dem Strahle a des ersteren drei verschiedene und daher (§ 16, l) 

 alle Strahlen des zweiten Büschels; alle von a verschiedenen Strahlen des 

 Büschels P entsprechen einem Strahle des Büschels Q. Da aber nach Bj^ 

 und Pg entsprechende Strahlenpaare führen, so gehört Q der Geraden B^B^ 

 an. Sollen endlich P und Q dem Strahle a angehören, so entspricht a, 

 weil auf ihm drei Punkte liegen, sich selbst. Von den perspectivischen 

 Büscheln müssen sich je zwei entsprechende Strahlen auf P^Pg treffen. 

 Sollen sich also von zwei projectivischen Büscheln je zwei entsprechende 

 Strahlen in den drei Punkten A.^, A^, C\ von a und in Pj , P., treffen, 

 so ist allemal das Geradenpaar ab ihr Erzeugnifs. 



Liegen keine drei der fünf Punkte i4j^,42 5-^15^2' ^i ^^^^ ^^'^^^" ^^^'*" 

 den, so ist das Erzeugnifs (A^A^)(Bj^B.2C^ .. .) der beiden Büschel ^iCP^ 

 B^C^ . . .) und A^CP^P^C^ . . ■) identisch mit dem Erzeugnifs (P^P2)(^i 

 ^.^C'i . . .) der beiden Büschel B^^ÄyA^C^ . . .) Ä B^^^A^A.-^C^ . . .). Die 

 beiden Büschel A^ und A^ schneiden auf C^B^ und C-^B^, da A-^C^ und 

 A^C-^ sich entsprechen, perspectivische Punktreihen aus. Verbindungs- 

 linien w entsprechender Punkte gehen, weil auch A-^^B^ und A^B-^ zugehö- 

 rige Punkte verbinden, durch den Kreuzungspunkt W dieser Geraden. 

 Lassen wir lo sich drehen und verbinden ihre Schnittpunkte mit C^Pi 

 und C\P.2 resp. mit A-^ und A.^, so beschreibt deren Kreuzungspunkt P 

 den Kegelschnitt {A^A^^B^B.^C-^. Halten wir nun in irgend einer Zwi- 

 schenlage Pj die Geraden A-^^F und A^F fest, lassen aber P^Cj und PgCj^ 

 beweglich werden, so beschreibt ihr Schnittpunkt C einen Kegelschnitt 

 (PjP.3)(AjA2Pi), dem aber auch G^ angehört, weil hier C seine Bewe- 

 gung beginnt. C überschreitet P^, wenn %v die Lage WF^ annimmt. 

 Ein beliebiger Punkt P^ des ursprünglichen Kegelschnittes gehört also 

 auch demjenigen an, der, mit Hülfe der Strahlbüschel P^ und B^ erzeugt, 

 durch die hinzukommenden Punkte A^ , 4, , Cj sicher eindeutig bestimmt 

 wird; beide sind daher mit einander identisch {i^A-^A.-^^B-^^B.^^^.^ . . !) und 

 (PjP.,) (.Ij/lgC^ . . .)]. Es ist mithin durch fünf Punkte nur ein Kegel- 

 schnitt möglich, und es sind überdies alle Strahlbüschel, die ihr Cen- 

 trum auf dem Kegelschnitte haben und zu ihm perspectivisch sind, unter 

 einander projectivisch. 



