182 E. Kötter: Grundzüge eine?' 



§ 139. Kann ein Gebilde als Erzeugnifs eines beliebigen Strahl- 

 büschels P und einer dazu projectivischen Strahleninvolution mter Ord- 

 nung mit dem Centrum Q bezeichnet werden, so mufs nothwendig bei 

 jeder Erzeugungsweise dem Strahle PQ die Zusammenstellung aus m — 1 

 festen Strahlen und dem StraUe QP entspechen. Wenn P auf die Curve 

 fällt, wird allen Gruppen der Involution QP gemeinsam. In der übrig 

 bleibenden Involution (rn — l)ter Ordnung entspricht dem Strahle PQ die 

 ihn nicht enthaltende Tangentengruppe. Zwei Curven mter und nter 

 Ordnung, deren Tangentengruppen in Q keine gemeinsamen Strahlen ha- 

 ben, besitzen stets gemeinsame Punkte, und zwar im Allgemeinen und 

 höchstens m-+-n — 1 verschiedene. Zeigen in s (<Cm + ?z — l) vex'schie- 

 denen gemeinsamen Punkten beide Curven bestimmte, aber von einander 

 verschiedene Tangenten, so sind noch andere Schnittpunkte vorhanden. 



Es sei P^ ein beliebiger Punkt aufserhalb P. Zu dem Strahlbüschel 

 PiP-^PsP-i • • • ^^^ hinsichtlich j^l ein Strahlbüschel q^^ ^xa^'xs ?X4 • • • perspec- 

 tivisch, welches mit der JhP^PaPi • • ■ zugehörigen Involution mter Ordnung 

 eine Strahlengruppe einer Involution (tji + l)ter Ordnung gemeinsam hat, 

 weil die verschiedenen Strahlbüschel (q,) alle QP und QP^ gemeinsam ha- 

 ben und daher zu einer Schaar gehören (§ 32). Alle Strahlen pl sollen aber 

 mit der Curve doch nur n Punkte gemeinsam haben; dieser Widerspruch 

 löst sich nur dann, wenn in der PQ zugehörenden Involutionsgruppe QP 

 vorkommt. Dann kommt QP in allen Gliedern der Involution (m + l)- 

 ter Ordnung vor, und wenn wir von diesem erst künstlich hineingebrach- 

 ten Bestandtheil absehen, so wird die Curve auch durch J^hhPs • • • ^^^ 

 eine zu ihm projectivische Involution mter Ordnung erzeugt. Speciell für 

 P^Q wird aber allen Strahlen jo^ ,2)25^3 5 • ■ • und folglich allen Gliedern der 

 Involution QP^ zugeordnet; dem einen Strahl PQ und also der Tangen- 

 gruppe q"'~^ wird jeder Strahl q zugeordnet. Dem Strahl P^Q gehört 

 mithin die Gruppe aus (^'""' und QP^ zu. Läfst man nun Pj auf die 

 Curve fallen, so wird allen Gliedern der Involution QP gemeinsam sein. 

 Sieht man von ihm ab, so bleibt eine Involution (m- — l)ter Ordnung 

 übrig, in der P^Q die Gruppe 5'""' zugeordnet wird. 



Wenn eine zweite Curve durch ein Strahlbüschel P und eine pro- 

 jectivische Involution Q nter Ordnung erzeugt wird, so verlege man in 

 einem Punkt der ersten Curve, der nicht zugleich der zweiten angehört, 



