rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 189 



schneidet jede Gerade auf den gegebenen Gebilden 1) und 2) und dem 

 Erzeugnifs von t-^^t^t^... und einer dritten Involution der Schaar 4) die 

 Gruppen einer Involution ster Ordnung aus. Da sonach das Gebilde 3) 

 mit dem Erzeugnifs von tyt^t.^. . . und riTgts . . . sich deckt, so mufs von 

 der Involution [r] als Bestandtheil das Strahlbüschel sich ablösen, -welches 

 zu p hinsichtlich t-^^t^t^ . . . perspectivisch ist. Die übrig bleibende Invo- 

 lution (s — l)ter Ordnung, (|W — l)ten Ranges erzeugt mit t^t^t^ . . . die 

 Curve III, welche sicherlich mit den gegebenen I und II alle ihre Schnitt- 

 punkte aufserhalb j^ gemeinsam hat. Sie geht aber auch mit der Gera- 

 den p zusammen durch alle Schnittpunkte von 1) und 2). Nun unter- 

 scheidet sich aber 1) von I um die n~\-ix — v Geraden Qß^ , QB.^ , ... 

 QB^ , QB^_^^, . . . Qi>„^.^_,. Diese haben insgesammt (n + ju — v^v Schnitt- 

 punkte mit II gemeinsam, welche also 3) sämmtlich enthalten mufs. Die 

 Gerade p enthält die n Punkte B^ , B^ , . . . B^; die (n-\-ix—v)v — n 

 übrigen müssen sämmtlich III und II gemeinsam sein. Setzen wir luin 

 unseren Lehrsatz für die Gebilde II und III, die nothwendig verschiedene 

 Tangentengruppen in Q haben, voraus, wie er für die Zahlen ju = l, 

 V == 1 gilt (§ 139), so ergiebt sich für I und II höchstens folgende An- 

 zahl gemeinsamer Punkte 



(m + ^^-|- /x — v — l)v -\- nQj. — l) — (n-\- fj. — i')^ -)- n — (w — 1)^' 

 = mv -\- rijj. — fxv . 



Um sicher zu sein, dafs im Allgemeinen diese Anzahl wirklich richtig 

 ist, und dafs jedenfalls gemeinsame Punkte immer vorhanden sind, mufs 

 man noch zeigen, dafs III die Punkte B^ , B^ , . . . B^^ nicht enthält, 

 in den Punkten Bl bestimmte andere Tangenten zeigt als II und auch 

 da eine bestimmte Tangente haben mufs, wo I und II bestimmte, aber 

 getrennte Tangenten hatten. In einem solchen Punkte P giebt es eine 

 Gerade tj^, die Tangente von I, welche die Curve 1 in nur noch s — 2 ande- 

 ren Punkten trifft, während einer der gewöhnlichen s — -1 Schnittpunkte nach 

 P fällt. Da nun die Curve II P zum einfachen Punkt hat, und in ihm 

 eine andere Tangente besitzt als I, so wird t^ von 2) in s — 1 Punkten 

 aufserhalb P geschnitten. Die drei Gruppen, welche t^ aufserhalb P auf 

 1), 2) und 3) ausschneidet, liegen aber in Involution, die letzte dieser 

 Gruppen besteht also aus s — 1 von P verschiedenen Punkten. Daher hat 

 auch III oder 3) in P eine bestimmte Tangente t^, die gleichmäfsig von 



