7'ein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 191 



■wird. Nach einem einfachen Schnittpunkt von I und II führt entweder 

 ein einzelner Bestandtheil oder eine einzelne der ^ Geraden. 



Für den letzteren Bestandtheil können wir voraussetzen, dafs er II in 



(5 — f) i' H- «(u — 1) — (v. — 1) V 



im Allgemeinen verschiedenen Punkten trifft, unter denen die vorher ge- 

 nannten auszuschliefsenden (ji-{-iJ. — 1-)^ — n sich befinden. Die ^Gera- 

 den aber treffen die Curve in v^ Punkten, die nur dann nicht alle von 

 einander verschieden sind, wenn die Geraden entweder theilweise zusam- 

 menfallen, oder irgend eine von ihnen II berührt. Man wählt statt Q 

 einen Punkt T aufserhalb der Curve, statt P den beliebigen Punkt S einer 

 der Geraden. In der SQ entsprechenden Gruppe T""^' kommt TQQi — f)- 

 fach vor und nicht öfter, weil SQ in der Tangentengruppe in Q nicht 

 enthalten ist. Fallen von den übrigen v Punkten mehrere bei »S\ zusam- 

 men, so entspricht bei der Erzeugung von S^ und T aus dem Strahle 

 S^Q eine Gruppe mit weniger als n — 2 Strahlen aufserhalb TS^; ent- 

 weder ist daher >S\ ein mehrfacher Punkt in II, oder die Tangente der 

 Curve II in S^^ fällt mit S> Q zusammen. Nun bedenke man, dafs die 

 ergänzten Curven 1, 2, 3, wenn S.^ in I und II ein einfacher Punkt ist, 

 auch durch das Strahlbüschel t-^t.^t.^ . . . und die Involutionen (m-\-n-\-\x 

 — V — l)ter Ordnung, (iu — l)ten Ranges mit dem Centrum tS\ einer be- 

 stimmten Schaar erzeugt werden können. Da in den Involutionen zu 2) 

 und 3) T>S\ eine Gruppe entspricht, in der »S^ Q vorkommt, so mufs letz- 

 terer Strahl auch in der Involution zu 1) TS^ entsprechen. Falls daher 

 nicht I oder II S\ zum mehrfachen Punkte hat, so müssen beide in .S\ 

 dieselbe Tangente haben. Keinesfalls ist S;^ ein einfacher Schnittpunkt 

 von I und II. Ebenso leicht zeigt man, dafs irgend o- der ^ Geraden 

 nur dann zusammenfallen, wenn alle Schnittpunkte derselben mit II nicht 

 einfache Schnittpunkte von II und III sind. Auch in dem Falle, wo ^- 

 Geraden sich ablösen, erhalten wir mithin im Allgemeinen und höchstens 

 mv-\-n}x — fxv einfache Schnittpunkte von I und II und neben s(<:imv 

 -\-niJ. — juv) vorhandenen noch andere gemeinsame Punkte. 



Der aufgestellte Satz ist folglich allgemein richtig, denn er gilt 

 für |Li = i/=i (§ 139), und es kann von (jj. — 1 , i») auf (jJ-,v) geschlos- 

 sen werden. 



