rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 193 



Umgekehrt ist ein Gebilde, für welches diese Erzeugungsweise bei 

 beliebigen P und Q aufserhalb seiner gilt, eine Curve 7t" + ^ Denn das- 

 selbe ist (Vergl. Beweis zu § 140) das Erzeugnifs eines beliebigen Bü- 

 schels ?'i?'o?'3 • • • lind einer Curvenreihe R^R.^R^ .... Diese 7?> werden 

 erzeugt durch irgend ein Strahlbüschel s-^s.^s^ . . . und projectivische Invo- 

 lutionen nter Ordnung, niaw Ranges einer zu i\r^r^ . . . projectivischen 

 Schaar: das Centrum >S ist ebenfalls willkürlich. Wir haben es daher 

 nach § 131 mit Curven ntev Ordnung und nach § 136 mit einem zu 

 rj^?\,?3 . . . projectivischen Büschel derselben zu thun. Daher ist das Ge- 

 bilde eine Cnrve (;i4-l)ter Ordnung. 



Wenn zwei Curven («i+l)ter und wter Ordnung irgend einer 

 Geraden in m + n 4- 1 von einander verschiedenen Punkten begegnen, 

 so erfüllen die beiden Involutionen, welche mit irgend einem Strahlbü- 

 schel s^Sr,s.^ . . . zusammen dieselben erzeugen, die Bedingungen des § 141. 

 Beide Curven haben daher stets Punkte, und zwar im Allgemeinen und 

 höchstens n(')H + l) verschiedene, gemeinsam. Neben 5 (< n(m + l)) ein- 

 fachen Schnittpunkten sind noch andere Punkte ihnen gemeinsam. 



Wenn keine Gerade die Curve K"'^^ in n + 1 verschiedenen Punk- 

 ten trifft, so mufs die Involution ql^^ql'^^ql'^^ • ■ ■ in />' Involutionen der 

 Rangzahlen n^ , n.2 ,«,,... n,. zerfallen, wo 



Hy -h «2 + "3 + • • • "a- = n 4- 1 



ist, jedes n^ aber so oft aufgenommen ist, als die zugehörige Theilinvolu- 

 tion in der Involution (ii -\- l)ter Ordnung vorkommt; ein Bestandtheil 

 wenigstens kommt doppelt vor (§ 114). Da S aufserhalb des Gebildes liegt, 

 so sind die Ordnungszahlen den Rangzahlen mindestens gleich; sie sind ihnen 

 gleich, w^eil die Summe der Ordnungszahlen n -{- 1 ist. Jedes Theilgebilde 

 wird daher diu-ch das Strahlbüschel s^SoSg . . . und eine Involution n^ ter 

 Ordnung und n^ ten Ranges erzeugt. Bei einer beliebigen Verlegung von 

 >S lind Q aufserhalb der Curve können sich nun (vergl. § 140) die ein- 

 zelnen Orduungs- und Rangzahlen nicht verkleinern, die Ordnungs- und 

 Rangzahl ihrer Gesammtheit bleibt aber ungeändert, woraus folgt, dafs 

 K"^'^ aus /b Curven ?^^ter, n^ter , ... »,.ter Ordnung sich zusammensetzt. 

 Ebenso mufs Ä'"' in { Curven m^ter, v^ier , . . . m.tev Ordnung zerfallen, 

 wenn sie jede Gerade in weniger als m vei-schiedenen Punkten trifft. Beide 

 Math. Ahh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1887. I. 25 



