rein geometrischen Theorie der aJgehraischen ebenen Curven. 197 



welches mit s^s^s^^s^ . . . zusammen die Curve (nH-l)ter Ordnung er- 

 zeugt. Daraus aber ergeben sich nach § 145 unendlich viele andere. 



§ 147. Sind .4^ , A.^ , A^ , A_j. vier beliebige Punkte einer Curve 

 («•4-l)ter Ordnung, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, so 

 kann die Curve (n-+-l)ter Ordnung auf unendlich viele Weise mittels 

 des um sie geschlossenen Kegelschnittbüschels und eines zu ihm pro- 

 jectivischen Büschels von Curven (ji — l) ter Ordnung erzeugt werden 

 {n~\-l ^3}. 



Bei einer Curve dritter Ordnung legen wir durch die vier Punkte 

 einen Kegelschnitt, der sie noch in 2. 3 — -4 oder 2 Punkten trifft. Ihre 

 Verbindungslinie treffe die Curve nocli in »S. Nach § 146 kann die Curve 

 durch das Strahlbüschel s^s^-^s^s^ . . . und ein Kegelschnittbüschel erzeugt 

 werden, von dessen Grundpunkten man drei willkürlich, also auch mit 

 Aj^ , A.^ , A^ zusammenfallend, wählen kann. Da nun s zwei Punkte auf 

 der Curve bestimmt, die einem Kegelschnitt des Büschels angehören, so 

 ist A^ der vierte Grundpunkt des Büschels. 



Ist 71 -\- i gröfser als 3 , so kann man .4^ , yl^ , A^ , A^ unter die 

 Grundpunkte des Büschels von Curven ?iter Ordnung aufnehmen, das 

 mit einem beliebigen Strahlbüschel (S) zu.sammen die Curve (n-hl)ter 

 Ordnung erzeugt. Dann ergiebt sich aus § 144 sofort eine Erzeugungs- 

 weise nach Art des Satzes, und daraus fliefsen nach § 145 unendlich viele 

 andere ab. 



§148. Zwei beliebige Curven U"^'' und V^'' (;i + l)ter Ord- 

 nung bestimmen ein Büschel, dessen Curven TF""^' ,^""^' , JC""^', }'""'■',.. . 

 durch sämmtliche gemeinsame Punkte der ersteren beiden hindm-chgehen. 

 Irgend ein U"'*'^ und F""""^ nicht gemeinsamer Punkt bestimmt eine Curve 

 des Büschels. Die Cui'ven desselben bestimmen auf allen Geraden Involu- 

 tionen (;i-}-l) ter Ordnung, auf allen Kegelschnitten Involutionen 2(n-|-l)- 

 ter Ordnung. Alle diese Reihen sind zu einander und zu den Tangen- 

 tenbüscheln in einfachen Grundpunkten projectivisch. Zu ihnen allen wird 

 das Büschel von Curven (n-(-l)ter Ordnung projectivisch gesetzt. 



Ist S ein Grundpunkt des Büschels, und sind U\Ulü\U\ . . . und 

 V\ Vi Fg V\ . . . die Büschel von Curven «ter Ordnung, die mit s^s.^s^^s^. . . 



