rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 207 



eine Involution (M+l)ter Ordnung bestimmen, in der Q zu einer regu- 

 lären Gruppe gehört, was offenbar angängig ist, sobald Q aufserhalb der 

 betrachteten Curve liegt. In Bezug auf alle Curven des Büschels, zu 

 dem K"'^'^ und die n-\-\ Geraden gehören, hat P dieselbe erste Polare, 

 auf der auch Q liegt. Die durch Q gehende Curve des Büschels hat Q 

 zum einfachen Punkte und daher hier die Tangente QP. Hinsichtlich der 

 n H- 1 Strahlen ist die erste Polare nichts anderes als die Gruppe der 

 Vi Doppelstrahlen der Involution aus dem (?i-f- l) fachen Strahle PQ und 

 der gegebenen Gruppe y^p^ • ■ • P„+i- Die zweite Polare besteht aus n — 1 

 P enthaltenden Geraden, endlich die nte aus einer von P ausgehenden 

 Geraden. Alle Polargeraden bilden aber ein Strahlbüschel. Das Centrum 

 desselben mufs Q sein , weil diesen Punkt zwei verschiedene und damit 

 alle Polargeraden enthalten. 



§ 165. Nimmt man hinsichtlich der Punkte P, Q,7?,.S', . . . einer Ge- 

 raden l die ersten Polaren in Bezug auf eine feste Curve K"'^^, so er- 

 hält man ein zu der gegebenen Punktreihe projectivisches Büschel P''Q" 

 R\S" . . . 



Nur die Punkte, in denen P" und Q" sich schneiden, ergeben die 

 Polargerade /. Damit nämlich die Polai-gerade eines Punktes durch P 

 geht, mufs er P", damit sie durch Q geht, Q" angehören. / gehört als 

 Polargerade den Schnittpunkten von P" und Q", aber ebenso denjenigen 

 von P" und E", von P" und S", ... zu. Folglich haben P",Q",Ä",»S",. . . 

 alle dieselben Punkte mit einander gemein und müssen zu demselben Bü- 

 schel gehöi-en, wenn P" und Q" in n^ verschiedenen Punkten sich treffen. 

 Das dann entstehende Büschel ist projectivisch zu der Punktreihe PQRS . . . 

 P" z. B. schneidet die Gerade / in der Doppelpunktsgruppe der Involu- 

 tion, welche die feste Gruppe AA^A^ enthält, in der 7t ""^' und l sich 

 treffen, überdies aber bei P einen (hH- l) fachen Punkt besitzt. P haben 

 wir in Q , R , S , . . . übergehen zu lassen. Die fragliche Gruppe ge- 

 hört der Involution AA^-.A.jX) an (§53), wo 55 die für AA^ analog ge- 

 bildete Gruppe ist. Setzen wir nun voraus, dafs ® eine Involution (n — l)- 

 ter Ordnung projectivisch zu PQRS... durchläuft, so beschreibt A^'Z 

 eine Involution nter Ordnung, und das Büschel ^1^4^; /lg 3) markirt auf 

 jeder Involution ihres Netzes eine zu ihm und auch zu PQRS . . . pro- 



