rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 209 



Büschel liegen wegen derselben Beziehungen auch die Curven P" ,Q" , 

 i?",»S"',... Diese bilden also, wie der Satz behauptet, ein zu PQRS . . . 

 projectivisches Büschel P"Q"i?"(S" . . . auch dann, wenn sie in weniger als 

 11^ verschiedenen Punkten sich treffen sollten. 



§ 166. Jedes Büschel K"^ , K'.^' von Curven inter Ordnung sendet 

 nur eine endliche Anzahl von Curven aus, die einer vorliegenden Curve 

 (n-\- l)ter Ordnung K"'^^ in weniger als 7n(ji-\- l) verschiedenen Punkten 

 begegnen, falls irgend eine Curve ^"' des Büschels m(?i + l) verschiedene 

 Punkte mit K""^^ gemeinsam hat. 



Zwei Curven mter und (;i+l)ter Ordnung können sich in weni- 

 ger als ??i(?i + l) Punkten nur treffen, wenn (§ 142) wenigstens in einem 

 derselben beide Curven dieselbe Tangente zeigen, oder für eine von 

 ihnen die Tangente unbestimmt wird. Zeigt wenigstens eine Curve eine 

 bestimmte Tangente t^, und hat die andere entweder dieselbe oder keine 

 bestimmte Tangente, so müssen für jeden Punkt derselben die beiden 

 Polaren in dem bezüglichen mehrfachen Schnittpunkt sich treffen. Zeigt 

 keine der Curven eine bestimmte Tangente, so geht jede Polare der einen 

 oder der anderen Curve durch denselben. Wir lassen einen Punkt die 

 Gerade / durchlaufen und nehmen für die Lagen P , Q , R , . . . die Po- 

 laren 



P" O" R" • P'"-"^ 0"'~i R"'~^ • P"'~» 0"'"i R'"'^^ 



pm-l ßm-1 JDm-l 



der Curven K"'*^^ ; K"^ ; K^ ; K'^ ; ... In einem der untersuchten Punkte 

 treffen sich Ä'""*^' und eine K'^^ mit irgend zwei zusammengehörigen Curven 



P^PT'iQ^QTiR^Rr'iS^Sr';-.- 



Nun erzeugt aber K'^K^K^K'^ ■ ■ ■ mit den pi-ojectivischen Büscheln 



R'^-^R'^-'R'^-'R^-' ... Ä ... , 

 welche zu einer Schaar gehören (§ 165), die Curven P^™~^,Q^'"'^,R^"'"' , ... 

 eines Büschels, welches zu P"'~^ Q"'~' jß"'~^ . . . und folglich auch zu P"Q" 

 R" . . . projectivisch ist. Letzteres erzeugt mit P2"'~'Q-"'~'i2-"'"^ . . . eine 

 Curve (nH-2m — l)ter Ordnung, welche alle Punkte der verlangten Art 

 Math. Abh. nicht zur Akad. gehör. Gelehrter. 1S87. I. 27 



