210 E. Kötter: Grundzüge einer 



mit K"^"^ gemeinsam hat. Dieselbe trifft die Curve K"^'^ aber höchstens 

 in (?i + l)(;i+ 2?n — l) Punkten, unter denen die Griindpunkte des Bü- 

 schels K'l , /sTg sich finden, die auf K"'^^ liegen. 



Die Curve kann nun mit K""^^ nur dann mehr als (n + l)(n+ 2m — l) 

 Punkte gemeinsam haben, wenn beiden dieselbe Theilcurve angehört. Diese 

 aber müfste K"^ in einzelnen ihrer Schnittpunkte mit K"'^'- treffen, unter 

 denen sich jedoch kein Punkt der gesuchten Art finden kann. 



§167. Wenn (n-^l)p der ^^ verschiedenen Schnittpunkte zweier 

 Curven p ter Ordnung Qj > n + l) auf einer Curve K"'^^ (« + l) ter Ord- 

 nung liegen, so befinden sich die (p — n — l)^^ übrigen auf einer Curve 

 (^p — 71 — l)ter Ordnung. 



Die j)^ Schnittpunkte sind die Grundpunkte eines Büschels, von des- 

 sen Cm'ven wir eine, K'', durch einen ((« H- l)^ + l)ten Punkte der /i""^* 

 legen können. Sie ti'ifft die letztere in unendlich vielen Punkten (§ 142) 

 und hat daher zuerst einen Bestandtheil rter Ordnung mit ihr gemein- 

 sam. Er trifil in höchstens rj) Punkten die beiden gegebenen Curven 

 ^ter Ordnung. Daher begegnen sich die beiden Curven IC''' und K"'^^^'', 

 durch welche die Curve zu K'' und K"'^''- zu ergänzen ist, in pQi — r + l) 

 Punkten. Auch sie haben daher noch einen Bestandtheil gemeinsam, und 

 man überzeugt sich so, dafs eine Curve jjter Ordnung des Büschels die 

 Curve (« H- l)ter Ordnung vollständig enthält. Ihr zweiter Theil ist eine 

 Curve (p — n — l)ter Ordnung. 



§ 168. Wenn m(?i -f- 1) von den p(n-\-l) verschiedenen Schnitt- 

 punkten zweier Curven JP und /iT""*"* pter und (?i + 1) ter Ordnung 

 (p > n -|- l) auf einer Curve mter Ordnung liegen, so liegen die übri- 

 gen (p — m)(?i+l) auf einer Curve -ST*"'" (p — ?n)ter Ox'dnung. 



Für « -h 1 = 3, also n = 2, folgt der Lehrsatz am einfachsten aus 

 dem Satze, dafs jede durch 3p — 1 Punkte einer K^ gelegte K^ auch in 

 einem bestimmten .Bpten Punkte die erstere trifft. Wir nehmen zu die- 

 sem Zwecke irgend vier der gegebenen Punkte Ai,A.2,A^,A^, von denen 

 keine drei in einer Geraden liegen, zu Grundpunkten eines Kegelschnitt- 

 büschels, das mit einem Strahlbüschel .4 zusammen die Ä'^, mit einem Bü- 

 schel von Curven K''~^ die IP (§ 147) erzeugt. In jedem der 3p — 4 übrigen 

 Schnittpunkte beider Curven trifft sich ein Kegelschnitt mit seiner Gera- 



