rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 211 



den und seiner K^'~^. A und die Sp — 4 anderen Punkte liegen daher 

 im Durchschnitt der gegebenen K^ mit einer Curve (p — l)ter Oi'dnung 

 /i^~*, die nämhch das Erzeugnifs des Strahlbüschels und des projectivi- 

 schen Büschels der 7t* "^^ ist^^. Wird vorausgesetzt, wie es für p — 1 = 2 

 zutrifft, dafs 3p — 4 von ihnen den letzten eindeutig bestimmen, so gilt 

 dasselbe von 3p) — 1 der gegebenen für den letzten Schnittpunkt der IP, 

 da nämlich A durch A^,A.2,A^,A^ zweifellos bestimmt wird und mit 3p — 5 

 anderen zusammen den 3pten Schnittpunkt bestimmt. Ist ein Theil der 

 3p Schnittpunkte der volle Durchschnitt einer K'", so bildet diese zu- 

 sammen mit einer /i*"'" durch 3(p — in)- — l der übrigen Punkte eine 

 K(, die 3p — 1 und folghch alle 3p Schnittpunkte der Ä'* mit der Ä'^ 

 enthält, woraus aber offenbar der Satz folgt. 



Für den allgemeinen Fall mufs, unter Voraussetzung des entspre- 

 chenden Satzes für n und kleinere Zahlen (§ 153), ein anderes Verfahren 

 eingeschlagen werden 3^. Ist zuerst m kleiner als « -h 1, so liegen eben nach 

 der Voraussetzung die (p — n — l)rn Punkte, in welchen sich K^ und 

 Ä"'" aufserhalb K"'^^ noch treffen, auf einer Curve K"'"''^ (p — n — l)ter 

 Ordnung. Sie bildet mit der K"'^^ zusammen eine zweite Curve SV pter 

 Ordnung. Von den p"^ Schnittpunkten zwischen JP und SV liegen pm auf 

 der K'". Daher liegen nach dem bereits Bewiesenen (§ 167) die übrigen 

 Schnittpunkte auf einer Curve K^^'" (p — jn)ter Ordnung, auf der also 

 auch die Schnittpunkte zwischen A'^ und K"'^^ aufserhalb Ä'"' liegen. Der 

 Beweis setzt nur scheinbar voraus, dafs IV und A"'" sich in pm verschie- 

 denen Punkten treffen. An die Stelle von IV kann nämlich jede andere 

 Curve ;jter Ordnung treten, die A'""^^ in denselben jj(n + l) Punkten 

 trifft. Ergänzen wir nun letztere durch eine Curve IV'""^ , die keinen 

 der Schnittpunkte zwischen IV und IV'^^, sowie zwischen IV und K"' 

 enthält, zu einer ^'\ so schneiden (§ 166) nur eine endliche Anzahl von 

 Curven des Büschels IV , M"" die A'"' in weniger als ^^m Punkten, wenn 

 I{p-m-i uf,(j j{^ sicii [yi Qj — „I — l)?;i verschiedenen Punkten treffen. 



Da 7t'" und 7t""*'* sich in m(ti-\-l') von einander verschiedenen Pvmk- 

 ten treffen, so können von den Theilen, in die irgend eine etwa zerfällt, 

 keine zwei iibereinstimmen. Daher folgt aus § 142 (resp. 131) in Ver- 

 bindung mit § 114, dafs unendlich viele Geraden in m, unendliche viele 

 Zusammenstellungen von p — n — 1 Geraden in (p — n — l)m verschiede- 



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