212 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



nen Punkten die Curve /l"' treffen. Aus § 166 folgt selir leicht, dafs auch 

 allgemeine Curven K^'"-'^ derselben Bedingung Genüge leisten. Unser 

 Satz ist daher für den Fall m < 'i + 1 auch dann bewiesen, wenn die 

 Curve pter Ordnung K^ der Curve K"' in jj-m von einander verschiede- 

 nen Punkten nicht begegnen sollte. 



Falls m nicht kleiner als n-+-l ist, dient zum Beweise der 

 Eestsatz. Werden die (n-\- 1)711 Punkte, welche K"'^^ und /v™ gemein- 

 sam sind, in zwei Gruppen I) und 11) zerlegt, machen II) und III) den 

 Durchschnitt einer Curve qtev, III) und IV) aber den vollständigen Durch- 

 schnitt einer Curve rter Ordnung aus, so bilden I) und IV) den voll- 

 ständigen Durchschnitt einer Curve (r-{-7n — q)ter Ordnung. Der Be- 

 weis folgt, falls q kleiner als n-f-1 ist, und die in I), II), III) und IV) 

 vorkommenden Punkte alle von einander verschieden sind, unmittelbar aus 

 dem bereits Bewiesenen. Denn die vier Gruppen bilden zusammen den 

 Durchschnitt unendlich vieler Curven (?• + m) ter Ordnung mit K"'^'^, die 

 Punkte von 11) und III) aber sind einer K'' mit der K""^^ gemeinsam. 

 Da q kleiner als 71 -+- 1 vorausgesetzt wird, so liegen I) und IV) auf der- 

 selben Curve (r-f-m — q)ter Ordnung. 



Wir versuchen nun insbesondere die Annahmen n und 71 — 1 für 



q und r einzuführen. Dann darf II) höchstens -^-^ — -, III) höchstens 



^^ ^ ' Punkte enthalten, denn im Allgemeinen finden besondere Be- 

 ziehungen unter den m(«H- ]) Schnittpunkten nicht statt, und es bestim- 

 men daher irgend —^ — - Punkte (§ 154) eine eigentliche Curve nter 



Ordnung, die keine weiteren Schnittpunkte der beiden Curven K"'^''- und 

 K'" enthält. Da nun II) und III) den Dui-chschnitt einer K" mit der 

 K"'^'^ ausmachen sollen, so mufs 



sein. Die Zahl linker Hand ist aber gleich ?i(n4-l)H-n — 1 und daher 

 wirklich gröfser als die rechter Hand. Die beabsichtigte Mafsregel ist daher 

 in unendlich vielen Weisen durchführbar. Legen wir die Curve nter Ord- 

 nung durch —^ — - — 2 der m(?iH-l) Schnittpunkte zwischen /i'" und 

 X"'*'^, so ist sie nur als Glied eines Netzes zweiter Stufe bestimmt. In 



