rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven. 213 



diesem giebt es, wenn man von ganz besonderen Lagen absieht, die als 

 Grenzfälle sich erledigen, ein Büschel, dessen fernere Grundpunkte aufser- 

 halb der 7v""^^ liegen. Auf X^""^^ schneiden unendlich viele Curven dieses 



Buscheis noch ^^ -^ — {n — 1)4-2^ ^ ^ ^ _ m 4_ 3 ver- 

 schiedene Punkte aus. Ist n gröfser als 3, so geht durch dieselben ent- 

 weder ein Büschel von Curven (11 — l)ter Ordnung oder ein ganzes Netz. 

 Für ?^ = 3 erhalten wir eine einzelne Curve. Es werden sich, von Grenz- 

 filllen abgesehen, durch die letzteren Punkte Curven (u — l)ter Ordnung 

 legen lassen, welche die /i""^' in (« — l)(?z4-l) verschiedenen Punkten 

 treffen, unter denen solche von I) nicht mehr vorkommen. I) und IV) 

 bilden nun den Durchschnitt einer Curve (n — 1 -\-m — «)ter oder (m — l)- 

 ter Ordnung. Da m beliebig grofs sein kann, so gilt diese Überlegung auch 

 für K''. Bezeichnet man mit V) die Punktgruppe, die sie aufser I) und II) 

 noch mit K''^^ gemeinsam hat, so liegen V), 1) und IV) im Durchschnitt 

 einer Curve {p — l)ter Ordnung. Damit ist der Satz auf den entsprechen- 

 den zurückgeführt, wo nur p — 1 und m — 1 an die Stelle von jj und m tre- 

 ten. In entsprechender Weise können wir zwei Gruppen I^) und IVj) fin- 

 den, die zusammen mit V) den Durchschnitt einer K''~^ mit der A'""^^ aus- 

 machen, andererseits für sich allein aus den Schnittpunkten einer Curve 

 (rn — 2)ter Ordnung bestehen. Den entsprechenden Schlufs können wir so 

 länge wiederholen, bis die dritte Curve auf die Ordnung n herabsinkt. Als- 

 dann liegt V) mit I„,_„_j) und IV„,_,,_j) in dem Durchschnitt der Ä'""^' und 

 einer /ff"^""'", I,„_,,_,) und IV,„_„_j) aber bilden den Durchschnitt der K"'^^ 

 und einer Kl- Daher liegt nach dem ersten Theile unseres Beweises die 

 Gruppe V) auf einer Curve (^p — ?n)ter Ordnung. 



Man kann mit grofser Leichtigkeit Schnittpunktsysteme herstellen, 



in denen solche Gruppen von -^^-^ — - — 2 Punkten vorkommen, die ein 



allgemeines Netz von Curven ?jter Ordnung constituiren , denen allen 

 nur jene Punkte gemeinsam sind. Ferner kann erreicht werden , dafs 



eine Curve desselben die /i""^' in noch -^ ~ — n + 3 verschiede- 

 nen Punkten trifft, deren Verbindungscurve (« — l)ter Ordnung nur in 

 einfachen Punkten der Ä'""^' begegnet. Hieraus folgt der Lehrsatz, in- 

 dem nämlich eine singulare Anordnung der Punkte wirklich den Aus- 



