228 E. K ö T T E R : Gnmdzüge einer 



§ 176. Kennt man von einem Büschel von Ciirven nter Ordnung 

 n gemeinsame Punkte O^jOg, .. . 0„ und für irgend zwei von ihnen die Dar- 

 stelhmgen mit Hülfe der von jenen Punkten ausgehenden Strahlbüschel, so 

 kann man für jede andere Curve des Büschels, von der ein Punkt bekannt 

 ist, eine Darstellung finden unter alleiniger Anwendung des Lineals, wenn 

 für alle auftretenden imaginären Strahlen Darstellungen .gegeben sind, die 

 zu irgend einem Wurfe (^ABA.^B^ projeetivisch sind. 



Es sei der Punkt, durch welchen die Curve des Büschels fixirt 

 wird, Oj , Og , Og , . . . 0„ seien die festen Grundpunkte, a'„ und a'^ die 

 Strahlen, welche für die gegebenen Darstellungen der Zusammenstellung 

 OOj , OOg , . . . 00„_j zugehören. Lassen wir nun den vorletzten Strahl 

 die Reihe 0„_,0,5„_j,c„_,,c?„_i . . . durchlaufen, so müssen die zugehörigen 

 Strahlen des letzten Büschels für die beiden gegebenen Darstellungen die 

 projectivischen Strahlbüschel 



al bl c„' dl . . . Ä «« b'^ c'^ d'^ . . . 

 beschreiben, welche wir kennen; die zu ihnen projectivische und ihrer 

 Schaar angehörige Reihe 



0„0 , b^^ , c^ , d^ , ... 



liefert uns alsdann unendlich viele Sätze 



0,0,...0„_,0,0^_^0,0„0 ; 0^0, ...0^_,0,b^_^,b„ ; 



0,0,...0„_,0,c„_^,c„;..., 



die alle der gesuchten Darstellung angehören. Die Strahlen a„ ,b„ , c„ 



aber finden sich durch eine lineare Construction. Man schneide die drei 



Büschel durch eine der Einfachheit wegen reelle Gerade / in den Reihen 



a:b:c: , . . . ä a':b:c'; ... ä a„b„ c„ . . . 



A„ als der Schnittpunkt von 0A,^ und l ist gegeben. Durch die Strahl- 

 büschel 



%{a:b:c:...) ä ^'oc^rc:') 



erzeuge man nun einen Kegelschnitt 2t5B62^ ... Jeder einzelne Punkt 

 ergiebt sich im Falle der Imaginareität durch eine lineare Construc- 

 tion, wenn 91^ und 91^ reell sind. Denn von A'„ und A'l, kennen wir 

 jedenfalls Darstellungen, die zu dem Normalwurf projeetivisch sind und 

 von Irgend zwei festen Strahlen 9(0^/ und 9(qxV ausgehen. Hieraus fin- 

 det man aber linear diejenigen zum Normalwurf projectivischen Darstel- 



