236 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



Fünftes Capitel. §§ 179-196. 



Analytische Erläuterungen zu den vorstehenden geome- 

 trischen Entwickelungen. 



§179. Von Staudt identificirt, wie wir gesehen hatten, zwei 

 conjungirt imaginäre Punkte oder Strahlen mit einer gegebenen elliptischen 

 Punkt- oder Strahleninvolution. Die Trennung eines Paares wird durch 

 Betrachtung des Sinnes bewirkt. Auf einer Geraden liegen die Punkte, 

 deren Darstellungen, was Involution und Sinn anbetrifft, zu ihrer eigenen 

 Darstellung perspectivisch sind. 



Auch die imaginäre Gerade im analytischen Sinne kann als Ord- 

 nungslinie einer elliptischen Involution betrachtet werden. Wenn 



1) p = «(.r— a;j) + /3(2/— 2/i)=0 und q = a^{x — x;) -\- ß^{^j—y;) = 

 die Gleichungen reeller Geraden sind, so ist 



2) p -^iq = Q 



die allgemeinste Gleichung einer imaginären Geraden, die nur den reellen 

 Punkt x-^ , y^ enthält. Dieselbe ist der eine imaginäre Doppelstrahl der 

 Involution 



3) jj2_(^2_|_2A2J5 = 0. 



Da jede elliptische Involution nur eine Darstellung in der Form 3) zu- 

 läfst, so kann man sie geradezu als Vertreterin der beiden Sti'ahlen 

 ]}-\-iq^Q und p — iq = auffassen. Für den Schnittpunkt von 

 2) -\-iq = mit einer reellen Geraden mit der Gleichung 



4) a.-^x -{- ß^y + y.^ = 



erhält man die Coordinaten, indem man zwischen den Gleichungen 2) und 

 4) zuerst x und dann y eliminirt. Andererseits ist natürlich der betreffende 

 Schnittpunkt ein Doppelelement der Involution, welche durch die Strahlen- 



