242 E. K ö T T E R : Grundzüge einer 



Das zweite Capitel der vorstehenden Arbeit. §§ 180 — 187. 



§ 180. Vom analytischen Standpunkte aus wird eine Involution 

 durch zwei gegebene Gruppen desselben Trägers zu n Elementen be- 

 stimmt. Haben diese 2« Elemente die Theilverhältnisse «^ ,«.,,... a^ , 

 /3j^ , /Bg , . • • ß„ hinsichtlich zweier gegebener Elemente, so sind die Theil- 

 verhältnisse aller Elemente ü-gend einer dritten Gruppe Wurzeln der Glei- 

 chung nten Grades 



(ix — a^)(x—a,) . . . (x — aj — X(x—ßj){x — ß,) . . . (x — ßj 



SO dafs zu jedem Werthe von A eine Gruppe der Involution gehört. Wird 

 der Fundamentalsatz der Algebra vorausgesetzt, so enthält jede Gruppe n 

 im Allgemeinen getrennte Elemente. Zwei verschiedene Involutionen 



2a) /„(,r)_A5r„0r) = , 2b) f„X^)-\f^(x) = 



werden als projectivisch bezeichnet, wenn für A und A^ die allgemeinste 

 bilineare Gleichung besteht 



3 a) öA H- 6Aj + c AAj -f- f/ = . 



Entsprechen sich die Gruppen /^(.r) == und /,_(;c) = 0, sowie (/^(.i:) = 

 und g„X^) ^= 0, so besteht die einfachere Gleichung 

 3 b) Aj = c . A . 



Es seien nun C^Cg . . . C„ und D^D.^ . . . D^ irgend zwei neue Grup- 

 pen der Involution, so dafs man also hat 



.. C^— «i)Oi'— «o) • • • 0^'— «n) — y(:^—ßi)(.^—ßd ■ ■ ' (■''•— ^J 



*^ = (1 -7)(.i--7i)Gi--Vo) . . . (x-yj = . 



(X «i)(.t «2) • • • (^ ">.) '^O^' ßl)(^ -^2) • • • G^" ßn) 



^^ = (l — ^)(x—^^-)(x—l^ . . . (x—^„) = . 



Hieraus fliefsen aber die weiteren Formeln ab 



6) dXi-7)(.i— 7i)0r-7,) . . . (.r-yj - v(l-^^)0c-<5O(.t'-4) •• • (x-l) 

 = (^—7) (.^'— «1) (x— «.3) . . . (x — a„) , 



